1、19.1 直线方程与圆的方程考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.直线的倾斜角、斜率与方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念2.掌握过两点的直线斜率的计算公式3.掌握确定两直线位置的几何要素以及求直线方程的几种形式4.了解斜截式与一次函数的关系2017课标全国,20;2016四川,10;2014福建,6;2013广东,72.圆的方程1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程与一般方程3.会利用待定系数法和直接法求圆的方程2017课标全国,20;2016北京,5;2016浙江,10选择题、填空题分析解读从近几年的高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的
2、倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.五年高考考点一 直线的倾斜角、斜率与方程1.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x 2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0答案 D 2.(2013广东,7,5分)垂直于直线
3、y=x+1且与圆x 2+y2=1相切于第象限的直线方程是( )A.x+y- =0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ =02 2答案 A 教师用书专用(3)3.(2016四川,10,5分)设直线l 1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P 1,P2处的切线,l 1与l 2垂直相交于-ln,01 点P,且l 1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是( )2A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+)答案 A 考点二 圆的方程1.(2016北京,5,5分)圆(x+1) 2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1 B.2 C. D.
4、22 2答案 C 2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D 3.(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a 2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .答案 (-2,-4);54.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为 ;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 .答案
5、 (1)(x-1) 2+(y- )2=2 (2)- -12 25.(2014山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2 ,则圆C的标准方程为 .3答案 (x-2) 2+(y-1)2=46.(2013课标全国,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在y轴上截得线段2长为2 .3(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.22解析 (1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设得y 2+2=r2,x2+3=r2.从而y 2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y 2-x2=1.(2)设P
6、(x 0,y0),由已知得 = .|0-0|2 223又P在双曲线y 2-x2=1上,从而得 |0-0|=1,20-20=1.由 得 此时,圆P的半径r= .0-0=1,20-20=1 0=0,0=-1. 3由 得 此时,圆P的半径r= . 0-0=-1,20-20=1 0=0,0=1. 3故圆P的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.教师用书专用(79)7.(2014湖北,17,5分)已知圆O:x 2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b-2)和常数满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|,则(1)b= ;(2)= .答案 (1)- (2)12 12
7、8.(2013江西,14,5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .答案 (x-2) 2+ =(+32)22549.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C 1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析 (1)由已知得,圆C 1的标准方程为(x-3) 2+y2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的
8、方程为y=tx,A(x 1,y1),B(x2,y2)(x1x 2),线段AB的中点M(x 0,y0) ,(其中 0=1+22 ,0=1+22 )将y=tx代入圆C 1的方程,整理得(1+t 2)x2-6x+5=0,则有x 1+x2= ,61+2所以x 0= ,代入直线l的方程 ,得y 0= .31+231+24因为 + = + = = =3x0,2020 9(1+2)2 92(1+2)29(1+2)(1+2)2 91+2所以 + = .(0-32)22094又因为方程(1+t 2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,所以=36-20(1+t 2)0,解得t 20,x1+x2=m,x1x2=2
9、m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则 =0,得x 1x2+4m2=0,即2m+4m 2=0,所以m=0或m=- .12由0得m8,所以m=- ,12此时C(0,-1),AB的中点M 即圆心,半径r=|CM|= ,(-14,0) 174故所求圆的方程为 +y2= .(+14)2 1716(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x 2+y2-mx+Ey+2m=0,将(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x 2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,整理得x 2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令 可得 或2+2-=0,+2
10、-2=0, =0,=1 =25,=45,故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和 .(25,45)C组 20162018年模拟方法题组方法1 求解直线的斜率及倾斜角范围的方法1.(2017中原名校联盟12月联考,6)设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则实数a的取值范围是( )A. B.(-,-52) 43,+) -43,52C. D. -52,43 (-,-43 52,+)8答案 D 2.(2016河南信阳调研,6)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.4,3) 3,2)
11、 (4,2) (3,2)答案 C 方法2 求直线方程的方法3.(2018江西南昌二中月考,6)曲线y= 在点P(2,4)处的切线与直线 l平行且点P到直线l的距离为2 ,则直线2-1 5l的方程为( )A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或2x-y-18=0答案 B 4.(2016吉林九校联考,7)经过点P(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线l的方程为( )A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0答案 B 5.(2017山西长治二中月考,14)直线l过
12、点P(6,4),且分别与x轴,y轴的正方向交于A,B两点,当ABO的面积最小时,直线l的方程为 .答案 2x+3y-24=0方法3 求圆的方程的方法6.(2018河北石家庄质检,15)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为8,则OAB外接圆的标准方程是 .答案 (x-2) 2+(y-2)2=87.(2016宁夏银川一中调研,15)两条互相垂直的直线2x+y+2=0和ax+4y-2=0的交点为P,若圆C过点P和点M(-3,2),且圆心在直线y= x上,则圆C的标准方程为 .12答案 (x+6) 2+(y+3)2=348.(2017江西四校12
13、月联考,20)在平面直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x- y=4相切.3(1)求圆O的方程;9(2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆O内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求 的取值范围.解析 (1)依题意得,圆O的半径r等于原点O到直线x- y-4=0的距离,即r= =2,故圆O的方程为x 2+y2=4.341+3(2)由已知不妨设A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 =x2+y2,即x 2-y2=2.(+2)2+2 (-2)2+2因为点P在圆O内,所以 由此得y 21.2+24,2-2=2.所以 =(-2-x,-y)
14、(2-x,-y)=x2+y2-4=2y2-20,又易得 =2y2-2-2,所以 的取值范围为-2,0).方法4 对称问题的处理方法9.(2017江西赣中南五校联考,5)已知直线l与直线2x-3y+4=0关于直线x=1对称,则直线l的方程为( )A.2x+3y-8=0 B.3x-2y+1=0 C.x+2y-5=0 D.3x+2y-7=0答案 A 10.(2018湖南师大附中联考,14)若直线l 1:y=-x关于直线l的对称直线为l 2:x+y-2=0,则直线l的方程为 .答案 x+y-1=011.(2017河北衡水中学二调,17)一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过
15、点Q(1,1).(1)求入射光线所在直线的方程;(2)求这条光线从点P到点Q的长度.解析 (1)如图所示.设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于点M.k l=-1,k QQ=1,QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0,由 +1=0,-=0, 10解得l与QQ的交点M的坐标为 .(-12,-12)又M为QQ的中点,由1+2 =-12,1+2 =-12,解得 Q(-2,-2).=-2,=-2.设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线.由P(2,3)、Q(-2,-2)得入射光线所在直线的方程为 = ,即5x-4y+2=0.+22+2+23+2(2)由(1)知l是线段QQ的垂直平分线,|NQ|=|NQ|,|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|= = ,(3+2)2+(2+2)2 41即这条光线从点P到点Q的长度是 .41
