1、19.4 椭圆及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程 掌握2016天津,19;2015陕西,20;2014辽宁,15选择题解答题 2.椭圆的几何性质 掌握2017课标全国,10;2017浙江,2;2016课标全国,11;2016江苏,10;2016浙江,19填空题解答题 3.直线与椭圆的位置关系掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握2017天津,19;2016四川,20;2016课标全国,20;2015江苏,18解答题 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离
2、心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.五年高考考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F 1,F2分别是椭圆E:x 2+=1(0)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围
3、.解析 (1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a 2-c2=3c2,又a 2-c2=b2=3,所以c 2=1,因此a 2=4,所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,yB),由方程组消去y,整理得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.由BFHF,得=0,所以+=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,yM),由方程组消去y,解得x M=.在MAO中,MOAMAO|
4、MA|MO|,即(x M-2)2+,化简得 xM1,即1,解得k-,或k.所以,直线l的斜率的取值范围为.3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2) 2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.2解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x 2+4y2=4b2.依题意得,圆心M(-2,1
5、)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x 1,y1),B(x2,y2),则x 1+x2=-,x1x2=.由x 1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x 1x2=8-2b2.于是|AB|=|x 1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b 2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x 2+4y2=4b2.依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x 1,y1),B(x2,y2),则+4=4b 2,+4=4b2,两式相
6、减并结合x 1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x 1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x 1x 2,所以AB的斜率k AB=.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入得x 2+4x+8-2b2=0.所以x 1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x 1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b 2=3.故椭圆E的方程为+=1.教师用书专用(4)4.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= . 答案 12考点二 椭圆的几何性质1.(2017浙江
7、,2,5分)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.答案 B2.(2017课标全国,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A 1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A3.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( 3)A. B. C. D.答案 A4.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+
8、y 2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a 2k2)x2+2a2kx=0,故x 1=0,x2=-.因此|AP|=|x 1-x2|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k 1,k2,且k 1,k20,k1k 2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a 2(2-a2)=0.由于k 1k 2,
9、k1,k20得1+a 2(2-a2)=0,因此=1+a 2(a2-2),因为式关于k 1,k2的方程有解的充要条件是1+a 2(a2-2)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1b0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 答案 7.(2013福建,14,4分)椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF 1F2=2MF 2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 -148.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标
10、原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为,又k OM=,从而=.进而得a=b,c=2b.故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且k NSkAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.9.(2014天津,18
11、,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F 1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F 1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0).由|AB|=|F 1F2|,可得a 2+b2=3c2,又b 2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a 2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x 0,y0).由F 1(-c,0),B(0,c),有=(x 0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x 0+
12、c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx 0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x 0=-c,代入得y 0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x 1,y1),则x 1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k 2-8k+1=0,解得k=4.所以直线l的斜率为4+或4-.考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2016课标全国,20,12分)设圆x 2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线
13、交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C 1,直线l交C 1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析 (1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1) 2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y0).(4分)5(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为
14、y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k 2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x 1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x 1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN|PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8).(12分)2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1
15、(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y 2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.解析 (1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b 2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x 2+=1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x 2+=1联立,消去x,
16、整理得(3m 2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为APD的面积为,故=,整理得3m 2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.教师用书专用(35)3.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB
17、,求直线AB的方程.解析 (1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y 2=1.(2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x 1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x 1,2=,C的坐标为,且AB=.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为PC=2AB,所以=,解得k=1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.4.(
18、2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别是F 1,F2.以6F1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值;(ii)求ABQ面积的最大值.解析 (1)由题意知2a=4,则a=2.又=,a 2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(i)设P(x 0,y0),=,由题意知Q(-x 0,-y 0).
19、因为+=1,又+=1,即=1,所以=2,即=2.(ii)设A(x 1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k 2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m 2n0),曲线C 2:-=1(ab0).若C 1与C 2有相同的焦点F 1、F 2,且P同在C 1、C 2上,则|PF 1|PF2|=( )A.m+a B.m-a C.m2+a2 D.m2-a2答案 B3.(人教A选2-1,二,2-2-1,1,变式)平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.1,4 B.2,6 C.3,5 D.3,6答案 C4
20、.(2017江西九江模拟,8)F 1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且AF 1F2=45,则AF 1F2的面积为( )A.7 B. C. D.答案 C5.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x 2+(y-1)2=3和椭圆+y 2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是 . 答案 考点二 椭圆的几何性质6.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 D7.(2018四川达州模拟,7)以圆x 2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y 2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆
21、的离心率是( )A. B. C. D.答案 C8.(2017河南4月质检,11)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F 2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF 2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF 2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.答案 D考点三 直线与椭圆的位置关系89.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:+y 2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为( )A.-2 B.2 C.- D.答案 A10.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN
22、|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:x-2y+6=0;x-y=0;2x-y+1=0;x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是( )A. B. C. D.答案 C11.(2017湖南百校联盟4月联考,10)已知椭圆+=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 A12.(2017湖南益阳调研,20)已知椭圆+=1(ab0)的离心率e=,点P(0,)在椭圆上,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作BDx
23、轴交AP的延长线于点D,F为椭圆的右焦点.(1)求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|;(2)求证:以BD为直径的圆与直线PF相切.解析 (1)椭圆过点P(0,),b=,e=,=,结合a 2=b2+c2,得a=2,c=1,椭圆的方程为+=1.则F(1,0),结合P(0,),可得直线PF的方程为y=-(x-1),与椭圆方程联立,得消去y,得5x 2-8x=0,解得x 1=0,x2=.由弦长公式得|PM|=|x 1-x2|=.(2)证明:易得A(-2,0),B(2,0),直线AP的方程为y=(x+2),直线BD的方程为x=2,两方程联立,求得D(2,2),所以以BD为直径的圆的圆心为(2,
24、),半径R=,圆心到直线PF的距离d=,所以以BD为直径的圆与直线PF相切.B组 20162018年模拟提升题组(满分:50分 时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018四川德阳模拟,9)设点P为椭圆C:+=1上一点,F 1、F 2分别是椭圆C的左、右焦点,且PF 1F2的重心为点G,若|PF 1|PF 2|=34,那么GPF 1的面积为( )A.24 B.12 C.8 D.6答案 C2.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、tR *,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且mb0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,直线OA的斜率为,=|
25、2,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.9答案 A二、填空题(共5分)4.(2017安徽安庆二模,15)已知椭圆+=1(ab0)短轴的端点为P(0,b)、Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA、PB的斜率之积等于-,则P到直线QM的距离为 . 答案 三、解答题(共30分)5.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且=.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=,且直线ll时,l交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证
26、:直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.解析 (1)由题意可知2c=2,c=,设F(,0),A(x 0,y0),B(-x0,-y0),则M,N,由=,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线l的斜率k=,l:y=x,设l:y=x+m(m0),y 0=x0,由+=5,得A(2,1),由c=,代入椭圆方程解得a=2,b=,椭圆的方程为+=1,联立整理得x 2+2mx+2m2-4=0,=4m 2-4(2m2-4)0,即m(-2,0)(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k 1,k2,设P(x 1,y1),Q(x2,y2),则k 1=,k2=.由x 2+2mx+2m2-4=0,可得x 1+x
27、2=-2m,x1x2=2m2-4,k1+k2=+=0,即k 1+k2=0.直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.6.(2017江西红色七校一联,21)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)(0b0),根据题意得b=c=1,所以a 2=b2+c2=2,所以椭圆的方程为+y 2=1.(2)根据题意得直线l的方程为y=x-1,联立得P,Q的坐标为(0,-1),|PQ|=,易得点O到直
28、线PQ的距离为,所以S OPQ =.10(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0b0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左顶点为A,若|F 1F2|=2,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的任意一点,求的取值范围.解析 (1)|F 1F2|=2,椭圆的离心率e=,c=1,a=2,b=,椭圆的标准方程为+=1.(2)设P(x,y),A(-2,0),F 1(-1,0),=(-1-x)(-2-x)+y 2=x2+3x+5,由椭圆方程得-2x2,二次函数图象开口向上,对称轴为x=-6b0)和圆O:x 2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分
29、别为A,B,满足APB=60,则椭圆C的离心率的取值范围为 . 答案 5.(2017河南开封一模,20)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心为坐标原点,焦点在x轴上,其左、右焦点分别为F 1,F2,过椭圆右焦点F 2且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且+与a=(3,-1)共线.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线l与椭圆C交于P,Q两点,坐标原点O到直线l的距离为,求POQ面积的最大值.解析 (1)设椭圆的方程为+=1(ab0),右焦点F 2(c,0)(c0),则直线AB的方程为y=x-c.设A(x 1,y1),B(x2,y2).由得(b 2+a2)x2-
30、2a2cx+a2c2-a2b2=0,x 1+x2=,x1x2=,y 1+y2=x1-c+x2-c=-,由+与a=(3,-1)共线,得3(y 1+y2)+(x1+x2)=0,3+=0,即a 2=3b2,a=b,c=b,e=.(2)由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为及(1),得a=,b=1,故椭圆的方程为+y 2=1.当PQx轴时,|PQ|=;当PQ与x轴不垂直且不与x轴平行时,设直线l的方程为y=kx+m(k0),由=得m 2=(k2+1),把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k 2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,设P(x 3,y3),Q(x4,y4),则x 3+x4=,x3x4=,|
31、PQ| 2=(1+k2)(x4-x3)2=(1+k2)(x4+x3)2-4x3x4=(1+k2)=3+=3+3+=4,当且仅当9k 2=,即k=时等号成立.当PQ与x轴平行,即k=0时,|PQ|=,综上,|PQ| max=2.当|PQ|最大时,POQ的面积取得最大值,为2=.方法3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法6.(2017湖南六校4月联考,16)过椭圆+=1(ab0)上的动点M作圆x 2+y2=的两条切线,切点分别为P和Q,直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F,则EOF面积的最小值是 . 答案 7.(2018四川凉山州模拟,20)若A(x 1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y 2
32、=1上位于x轴上方的两点,且x 1+x2=2.(1)若y 1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程;(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.解析 (1)设AB的中点为M,则M,由得+(y 1-y2)(y1+y2)=0,(x 1-x2)+(y1-y2)=0=-,即k AB=-,线段AB的垂直平分线的斜率为.线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k 2)x2+18kmx+9m2-9=0,x 1+x2=-=29k2+9km+1=0.A(x 1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y 2=1上位于x轴上方的两点,k0,=(18km) 2-4(1+9k2)(9m2-9)09k2-m2+10.结合得m=(-k)+,当且仅当k=-时取到等号.此时,k=-,m=满足.直线AB在y轴上截距的最小值为.
