1、19.7 曲线与方程考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 了解2017课标全国,20;2016课标全国,20;2015湖北,21;2014广东,20;2013福建,18解答题 分析解读 1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点 曲线与方程1.(2017课标全国,20,1
2、2分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y 2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析 (1)设P(x,y),M(x 0,y0),则N(x 0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x 0=x,y0=y.因为M(x 0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x 2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m 2+t
3、n-n2=1,又由(1)知m 2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l 1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析 由题设知F.设l 1:y=a,l2:y=b,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F
4、在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k 1,FQ的斜率为k 2,则k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x 1,0),则S ABF =|b-a|FD|=|b-a|,SPQF =.由题设可得2|b-a|=,所以x 1=0(舍去),或x 1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=kDE可得=(x1).而=y,所以y 2=x-1(x1).2当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)教师用书专用(36)3.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆
5、ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l 1:x-2y=0和l 2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析 (1)设点D(t,0)(|t|2),N(x 0,y0),M(x,y),依题意,=2,且|
6、=|=1,所以(t-x,-y)=2(x 0-t,y0),且即且t(t-2x 0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x 0,故x 0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即所求的曲线C的方程为+=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S OPQ =44=8.(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k 2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以=64k 2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m 2=16k2+4.又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线P
7、Q的距离为d=和|PQ|=|xP-xQ|,可得S OPQ =|PQ|d=|m|xP-xQ|=|m|=.将代入得,S OPQ =8.当k 2时,S OPQ =8=88;当0k 2b0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x 0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析 (1)由题意知c=,e=,a=3,b 2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l 1,l2,当l 1x轴或l 1x轴时,l 2x轴或l 2x轴,可知P(3,2).当l 1与x轴不垂直且不平行时,x 03,设l 1的斜率为k,且k0,
8、则l 2的斜率为-,l 1的方程为y-y 0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k 2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l 1与椭圆相切,=0,即9(y 0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k 2-2x0y0k+-4=0,k是方程(-9)x 2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x 2-2x0y0x+-4=0的另一个根,k=,整理得+=13,其中x 03,点P的轨迹方程为x 2+y2=13(x3).检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x 2+y2=13.5.(2013福建,18,13
9、分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A 1,A2,A9和B 1,B2,B9.连接OB i,过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(iN *,1i9).(1)求证:点P i(iN *,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积比为41,求直线l的方程.解析 解法一:(1)依题意,过A i(iN *,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x.设P i的坐标为
10、(x,y),由得y=x 2,即x 2=10y.所以点P i(iN *,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x 2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x 2-10kx-100=0,此时=100k 2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x 1,y1),N(x2,y2),则因为S OCM =4SOCN ,所以|x 1|=4|x2|.又x 1x2b0)的两个焦点分别为F 1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+
11、,求点Q的轨迹方程.解析 (1)由椭圆定义知,2a=|PF 1|+|PF2|=+=2,所以a=.又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e=.(4分)(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y 2=1.设点Q的坐标为(x,y).(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为M,N在直线l上,所以可设点M,N的坐标分别为(x 1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM| 2=(1+k2),|AN|2=(1+k2).又|AQ| 2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由=+,得=+,即
12、=+=.将y=kx+2代入+y 2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k) 2-4(2k2+1)60,得k 2.由可知,x 1+x2=,x1x2=,代入中并化简,得x2=.因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入中并化简,得10(y-2) 2-3x2=18.由及k 2,可知00),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.解析 (1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+
13、,又设A(x 1,y1),B(x2,y2),C(x,y),由x 2-2pkx-p2=0x1x2=-p2.(3分)易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x 2,由得y=-,即点C的轨迹M的方程为y=-.(6分)(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.设直线n的方程为y=k 1x+m.由x 2-2pk1x-2pm=0=4p 2+8pm.直线n与抛物线相切,=0p+2m=0,可得P(pk 1,-m).又由Q,(9分)=-(p+2m)+pm+=0FPFQ,以线段PQ为直径的圆过点F.(12分)B组 20162018年模拟提升题组(满分:55分 时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2
14、017豫北名校4月联考,15)已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为 . 答案 (x-10) 2+y2=36(y0)2.(人教A选21,二A,3(2),变式)已知圆O 1:(x-2)2+y2=16和圆O 2:x2+y2=r2(0e2),则e 1+2e2的最小值为 . 答案 3.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x 1+x2(O是坐标原点),若x 1+x2=1,则P的坐标满足的方程是 . 答案 x-y-1=0二、解答题(共40分)64.(2018湖南郴州模拟,20)已知抛物线E:y 2=8x
15、,圆M:(x-2)2+y2=4,点N为抛物线E上的动点,O为坐标原点,线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x 0,y0)(x05)是曲线C上的点,过点Q作圆M的两条切线,分别与x轴交于A、B两点,求QAB面积的最小值.解析 (1)设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线E:y 2=8x上,4y 2=16x,曲线C的方程为y 2=4x.(2)设切线方程为y-y 0=k(x-x0).令y=0,可得x=x 0-,圆心(2,0)到切线的距离d=2,整理可得(-4x 0)k2+(4y0-2x0y0)k+-4=0.设两条切线的斜率分别为k 1,k2,则k 1+k2=,k1
16、k2=,QAB的面积S= - |y0|=2.设t=x 0-14,+),则f(t)=2在4,+)上单调递增,f(t),即QAB面积的最小值为.5.(2018云南玉溪模拟,20)已知点M(4,0)、N(1,0),若动点P满足=6|.(1)求动点P的轨迹C;(2)在曲线C上求一点Q,使点Q到直线l:x+2y-12=0的距离最小.解析 (1)设动点P(x,y),又点M(4,0)、N(1,0),=(x-4,y),=(-3,0),=(x-1,y).(3分)由=6|,得-3(x-4)=6,(4分)x 2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,故3x 2+4y2=12,即+=1,轨迹C是焦点为(1,0),
17、长轴长为4的椭圆.(7分)(2)椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l 1与直线l的距离.设直线l 1的方程为x+2y+m=0(m-12).(8分)由消去y得4x 2+2mx+m2-12=0(*).依题意得=0,即4m 2-16(m2-12)=0,故m 2=16,解得m=4.当m=4时,直线l 1:x+2y+4=0,直线l与l 1的距离d=.当m=-4时,直线l 1:x+2y-4=0,直线l与l 1的距离d=.由于0,则S OFA =|OF|y1=y1,(5分)=-4,7x 1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y 1y2=-8,(6分)
18、当y 1=-y2时,ABx轴,A(2,2),B(2,-2),SAOB =4,SOFA =,S=5.当y 1-y 2时,直线AB的方程为=,(7分)即y-y 1=,令y=0,得x=2,直线AB恒过定点(2,0),设定点为E,S OAB =|OE|y1-y2|=y1-y2,(9分)由可得S OAB =y1+,(10分)S=S OFA +SOAB =y1+=y1+2=4 当且仅当y 1=,即y 1=时,取等号 .(11分)综上,S min=4.(12分)C组 20162018年模拟方法题组方法 求轨迹方程的方法1.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:+=1(ab0)的左,右顶点分别为A,B,点M
19、,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是( )A.x=a(y0) B.y2=2b(|x|-a)(y0)C.x2+y2=a2+b2(y0) D.-=1(y0)答案 D2.(2018安徽合肥模拟,20)如图,抛物线E:y 2=2px(p0)与圆O:x 2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x 0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l 1,l2,l1与l 2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解析 (1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y 2=2px
20、,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E的方程为y 2=2x.设C,D,y 10,y 20.易知l 1,l2的斜率均存在,设切线l 1:y-y1=k,代入y 2=2x得ky 2-2y+2y1-k=0,由=0解得k=,l 1的方程为y=x+,同理,l 2的方程为y=x+,联立解得CD的方程为x 0x+y0y=8,其中x 0,y0满足+=8,x 02,2,联立得x 0y2+2y0y-16=0,则代入可知M(x,y)满足代入+=8得-y 2=1,由x 02,2知x-4,-2.动点M的轨迹方程为-y 2=1,x-4,-2.3.(2017福建泉州二模,20)在ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,ABC
21、的周长为6+3.若点T在线段AO上,且|AT|=2|T8O|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R.证明:MPR是等腰三角形.解析 (1)如图,以O为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy.依题意得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6.因为|AB|+|AC|=6|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点,6为长轴长的椭圆(除去长轴端点),所以点A的轨迹方程为+=1(x3).设A(x 0,y0),T(x,y),依题意
22、知=,所以(x,y)=(x 0,y0),即又+=1,+=1,所以点T的轨迹E的方程为x 2+2y2=1(x1).(2)证明:设M(m,0)(m1),N,Q(x 1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意可得直线QM不与坐标轴平行,因为k QM=,所以直线QM的方程为y=(x-m),与x 2+2y2=1联立并整理可得,(m 2+1-2mx1)x2-2m(1-)x+(2mx1-m2)=0,由根与系数关系得x 1x2=,同理,x 1x3=x1x2,所以x 2=x3或x 1=0,当x 2=x3时,PRx轴;当x 1=0时,由x 1+x2=得x 2=,同理,x 3=x2,PRx轴.因此|MP|=|MR|,故MPR是等腰三角形.
