1、1培优点四 恒成立问题1参变分离法例 1：已知函数 lnafx，若 2fx在 1,上恒成立，则 a的取值范围是_【答案】 a【解析】 233lnlnlnxxax，其中 1,x，只需要 3maxa令 lngx， 21ln3gx， 1g， 2160xgx，在 1,单调递减， 0在 ,单调递减，gx， 1a2数形结合法例 2：若不等式 logsin20,1axa对于任意的 0,4x都成立，则实数 a的取值范围是_【答案】 ,14a【解析】本题选择数形结合，可先作出 sin2yx在 0,4的图像，a扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得 01a，观察图像进一2步可得只需 4x时， l
2、ogsin2ax，即 li14a，所以 ,14a3最值分析法例 3：已知函数 ln10fxa，在区间 1,e上， fx恒成立，求 a的取值范围_【答案】 e1a【解析】 fx恒成立即不等式 ln10ax恒成立，令 ln1gxax，只需 min0g即可， 10g， 1axx，令 xa（分析 gx的单调性）当 时 g在 ,e单调递减，则 01g(思考：为什么以 1a作为分界点讨论？因为找到 0，若要不等式成立，那么一定从1x处起 gx要增（不一定在 ,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以a时导致 在 1处开始单减，那么一定不符合条件由此请体会零点对参数范围所起的作用）当 1时，分 xa是
3、否在 ,e中讨论（最小值点的选取）若 ea，单调性如表所示10e1ega， ea3（1）可以比较 1g， e的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦由于最小值只会在 x， 处取得，所以让它们均大于 0 即可（2）由于 ， e并不在 1,e中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若 ea，则 gx在 1,e上单调递增， 10gx，符合题意，综上所述： 对点增分集训一、选择题1已知函数 2ln1,03xf，若 20fxmx，则实数 m的取值范围是（ ）A ,1B 2,1C 0,3D 3,【答案】B【解析】若 20fxmx，即有 2fxmx，分别作出函数 fx和直线 2ymx的图象，由直
4、线与曲线相切于原点时， 23xx，则 23，解得 1，由直线绕着原点从 x轴旋转到与曲线相切，满足条件4即有 023m，解得 21m故选 B2已知函数 4fxx，当 3,x时， 214fxm恒成立，则实数 m的取值范围是（ ）A 3,1B 3,1C ,1D 2,7【答案】C【解析】由题意可得： 2423fxxx，令 0fx可得： 12x， 3，且： 3f， 28f， 24037f，3f，据此可知函数 fx在区间 3,上的最小值为 3，结合恒成立的条件可得： 214m，求解关于 的不等式可得实数 的取值范围是 ,1本题选择 C 选项3若函数 2lnfxa在区间 ,2内单调递增，则实数 a的取值范
5、围是（ ）A ,2B ,C 1,8D 1,8【答案】D【解析】 211axfx ， 20在 1,2内恒成立，所以 2max1，由于 ,2，所以 2,4， 2,8x，所以 18a，故选 D4已知对任意 21,ex不等式 2a恒成立（其中 e2.7 ，是自然对数的底数） ，则实数 a的取值范围是（ ）A e0,2B 0,eC ,2eD 24,e【答案】A5【解析】由 2exa得 lnx在 21,e上恒成立，即 12lnxa在 21,e上恒成立令 2lnxf， 21,e，则 21lnxfx，当 1,ex时， 0fx， f单调递增，当 2e,x时， 0fx， fx单调递减 max2eff， 12efa
6、， e02a故实数 a的取值范围是 e0,2故选 A5已知函数 xf，当 1,时，不等式 fxm恒成立，则实数 m的取值范围是（ ）A 1,eB ,eC e,D e,【答案】D【解析】若 mfx恒成立，则 maxf， 2eexxxf，所以 fx在 1,0单调递减，在 0,1单调递增 1f， f，所以 m故选 D6当 2,x时，不等式 324ax恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）A 5,3B 96,8C 6,2D 4,3【答案】C【解析】 2,0x时，恒成立不等式等价于234xa，23min4xa，设 34f，6322 6 44443918xxxxf，2,0， f在 ,1单调递减，在 1,0单
7、调递增， min12fxf，当 x时，可知无论 a为何值，不等式均成立，当 0,1时，恒成立不等式等价于234xa，23max4xa，同理设 234xf， 491fx， f在 0,1单调递增，max16， a，综上所述： 6,2a故选 C7函数 2exf，若存在 0,2x使得 0mfx成立，则实数 m的范围是（ ）A 21e5,B 1,C 1,D 1e,2【答案】A【解析】若存在 0,2x使得 0mfx成立，则在 0,2x内 minfx即可，2e1fx， 22e1e1x xf，故 f在 0,上单调递减 2min 5fxf， e5m，故选 A8设函数 lnfxa，若存在 0,，使 0fx，则 a
8、的取值范围是（ ）A 1,eB 1,eC 1,D 1,e【答案】D【解析】 fx的定义域是 0,， 1axfx，当 0a时， f，则 f在 ,上单调递增，且 10f，故存在 0,x，使 0fx；当 a时，令 f，解得 1a，令 0fx，解得 xa，7fx在 10,a上单调递增，在 1,a上单调递减，maxln0ff，解得 e综上， 的取值范围是 1,e故选 D9若对于任意实数 0x，函数 exfa恒大于零，则实数 a的取值范围是（ ）A ,eB ,C e,D e,【答案】D【解析】 当 0x时， e0xfa恒成立， 若 0x， a为任意实数，efxa恒成立，若 0时， e0xfa恒成立，即当
9、0x时， exa恒成立，设 exg，则 221eexxg，当 ,1时， 0g，则 x在 0,1上单调递增，当 ,x时， x，则 g在 ,上单调递减，当 1时， g取得最大值为 e则要使 0x时， 0xfa恒成立， a的取值范围是 e,，故选 D10已知函数 3f， 2xg，若对任意 xR，总有 0fx或0gx成立，则实数 a的取值范围是（ ）A ,4B 4,0C 4,0D 4,【答案】B【解析】由 2xg，得 1x，故对 x时， gx不成立，从而对任意 1， 0f恒成立，8因为 30axa，对任意 1x恒成立，如图所示，则必有 1 3a，计算得出 40a故选 B11已知函数 exfa， 0,，
10、当 21x时，不等式 1220fxf恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）A ,eB ,eC e,2D e,2【答案】D【解析】不等式 1220fxf，即 120xffx，结合 210x可得 12ff恒成立，即 21ffx恒成立，构造函数 exgfa，由题意可知函数 gx在定义域内单调递增，故 e20xa恒成立，即 e2x恒成立，令 h，则 1xh，当 01x时， 0x， 单调递减；当 x时， 0hx， x单调递增；则 h的最小值为 1e2h，据此可得实数 a的取值范围为 e,2本题选择 D 选项12设函数 e31xfax，其中 1a，若有且只有一个整数 0x使得 0f，9则 a的取值范围是（
11、）A 23,e4B 23,e4C 2,1eD 2,1e【答案】C【解析】设 e31xg， hxa，则 e3+2xg，当 2,x时 ， 0， g单调递减；当 ,3时 ， gx， x单调递增，当 2x时， 取得最小值23eg如下图所示又 12e0gh，故 1gh；0a，故 0故当 0x时，满足 0g在直线 hxa的下方直线 ha恒过定点 1,且斜率为 ，要使得有且只有一个整数 0x使得0fx，只需 114e20gha， 2e，10又 1a，实数 a的取值范围 2,1e故选 C二、填空题13设函数 fxa， 1gx，对于任意的 xR，不等式 fxg恒成立，则实数 a的取值范围是 _【答案】 1,【解
12、析】法一：如图，因为 fxg恒成立，则 yfx的图像在 ygx的上方（可以有公共点） ，所以 1a即 ，填 1,法 2：由题设有 1xa当 1x时， R；当 时，有 x恒成立或 1xa恒成立，故 a或 即 1a，填 ,14函数 lnfxx，其中 aR，若对任意正数 x都有 0f，则实数 a的取值范围为_【答案】 (,1 【解析】对任意正数 x都有 0f，即不等式 1lnax对于 0,x恒成立11设 1lngx，则 21 xgx故 在 0,上是减函数，在 ,上是增函数，所以 gx的最小值是 1g，所以 a的取值范围是 (,1 15已知函数 2lnfxx，若函数 fx在 ,2上单调递增，则实数 a
13、的取值范围是_【答案】 ,1【解析】根据函数 fx在 1,2上单调递增，则 1 20fxa在 1,上恒成立，即210ax在 ,上恒成立，所以 210a恒成立，即221x在 1,上恒成立，所以 1，故实数 a的取值范围是 ,16已知关于 x的不等式 21log0mx在 ,2上恒成立，则实数 m的取值范围为_【答案】 153,28【解析】当 0m时，函数 21logmfxx外层单调递减，内层二次函数：当 12，即 1时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，min3log402mfxf，解得 1528m；12当 12m，即 12时， f无意义；当 ，即 4时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先
14、递增后递减，则需 10f， f，无解；当 2m，即 14时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，inlog02mfxf，无解当 1时，函数 21lmfxx外层单调递增，2m，二次函数单调递增，函数单调递增，所以 in11log02mfxf，解得： 32综上所述： 528或 3三、解答题17设函数 2ln1fxax，其中 aR，（1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；（2）若 0x， f成立，求 a的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） 01【解析】 （1） 2lnfxax，定义域为 1,， 2211axafxa，设 gx，当 0a时， 1， 01fx，函数 fx在 1,为增函数，无极值
15、点当 时， 22898aa，13若 809a时 0， gx， 0fx，函数 fx在 1,为增函数，无极值点若 时 ，设 的两个不相等的实数根 1， 2，且 12x，且 12x，而 10g，则 14x，所以当 1,x， ， f， f单调递增；当 12,x， 0g， fx， fx单调递减；当 ,， ， 0f， f单调递增因此此时函数 fx有两个极值点；当 0a时 ，但 10g， 1x，所以当 2,x， x， f， f单调递增；当 2,， 0g， f， fx单调递减所以函数只有一个极值点综上可知，当 a时 fx有一个极值点；当 809a时 fx的无极值点；当 89a时，fx的有两个极值点（2）由（1
16、）可知当 809a时 fx在 0,单调递增，而 0f，则当 ,x时， fx，符合题意；当 819a时， 0g， 20， fx在 0,单调递增，而 0f，则当 ,x时， fx，符合题意；当 1a时， 0g， 20，所以函数 fx在 20,单调递减，而 0f，则当 2,x时， fx，不符合题意；当 0a时，设 ln1h，当 0,x时 10xhx，hx在 ,单调递增，因此当 ,时 0， ln，14于是 221fxaxax，当 1a时 20xa，此时 0f，不符合题意综上所述， a的取值范围是 01a18设函数 2emxf，（1）证明： 在 ,0单调递减，在 0,单调递增；（2）若对于任意 1x， 2
17、,，都有 12e1fxf，求 m的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） ,m【解析】 e2xf，注意到 0f，于是再求导得， 2emxf，由于 0fx，于是 f为单调递增函数，,时， 0fx， ,时， 0fx，fx在 ,单调递减，在 ,单调递增（2）若不等式 12e1fxf恒成立，则 12maxfxf， fx在 ,连续，f在 ,有最大最小值，12maxinaxxfff，由（1）可知 f在 1,0单调递减，在 0,1单调递增，minfx， max,e,1mmff ，10e1e1mff，设 xh，e1x， h在 ,0单调递减，在 0,单调递增0h， 2e，故当 1,x时， hx，15当 1,m时， 0h， 0m，则上式 e1m成立当 时，由 x的单调性， h，即 m，当 1时， 0h，即 e1m，综上， m的取值范围为 1,
