1、1中档大题规范练(一)(建议用时：60 分钟)1. (2018河南六市联考)如图 52，在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知 c4， b2,2 ccos C b， D， E 分别为线段 BC 上的点，且BD CD， BAE CAE.图 52(1)求线段 AD 的长；(2)求 ADE 的面积解 (1)根据题意， b2， c4,2 ccos C b，则 cos C ；b2c 14又由 cos C ，a2 b2 c22ab 4 a2 1622a 14可解得 a4，即 BC4，则 CD2，在 ACD 中，由余弦定理得： AD2 AC2 CD22 ACCDcos C6，
2、则 AD .6(2)根据题意， AE 平分 BAC，则 ，CEBE ACAB 12变形可得： CE BC ，13 43cos C ，则 sin C ，14 154S ADE S ACD S ACE 22 2 .12 154 12 43 154 1562.如图 53 所示，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，已知 PA PB PC PD BC1， AB，过底面对角线 AC 作与 PB 平行的平面交 PD 于 E.22图 53(1)试判定点 E 的位置，并加以证明；(2)求二面角 EACD 的余弦值解 (1) E 为 PD 的中点，证明如下：连接 OE(图略)，因为 PB平面 AEC，平面 PBD平
3、面 AEC OE， PB平面 AEC，所以PB OE，又 O 为 BD 的中点，所以 E 为 PD 的中点(2)连接 PO(图略)，因为四边形 ABCD 为矩形，所以 OA OC.因为 PA PC，所以 PO AC.同理，得 PO BD，所以 PO平面 ABCD，以 O 为原点， OP 为 z 轴，过 O 平行于 AD 的直线为 x轴，过 O 平行于 CD 的直线为 y 轴建立空间直角坐标系(图略)易知 A ， B ， C ，(12， 22， 0) (12， 22， 0) ( 12， 22， 0)D ， P ， E ，(12， 22， 0) (0， 0， 12) ( 14， 24， 14)则
4、， .OE ( 14， 24， 14) OA (12， 22， 0)显然， 是平面 ACD 的一个法向量设 n1( x， y， z)是平面 ACE 的一个法向量，OP 则Error! 即Error!取 y1，则 n1( ，1,2 )，2 2所以 cos n1， ，OP n1OP |n1|OP | 22211所以二面角 EACD 的余弦值为 .222113(2018衡水金卷三)我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响，把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为：风速不小于 30米/秒的称为强台风，风速小于 30 米/秒的称为风暴，下表是 2014 年对登陆华南地
5、区的 15次台风在东西两部的强度统计：强台风 风暴东部沿海 9 63西部沿海 3 12图 54(1)根据上表，计算有没有 99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关；(2)2017 年 8 月 23 日， “天鸽”在深圳登陆，造成深圳特大风暴，如图 54 所示的茎叶图统计了深圳 15 块区域的风速(十位数为茎，个位数为叶)任取 2 个区域进行统计，求取到 2 个区域风速不都小于 25 的概率；任取 3 个区域进行统计， X 表示“风速达到强台风级别的区域个数” ，求 X 的分布列及数学期望 E(X)附： K2 ，其中 n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b dP(K
6、2 k0)0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828解 (1)22 列联表如下：强台风 风暴 合计东部沿海 9 6 15西部沿海 3 12 15合计 12 18 30由 22 列联表中数据，可得 K2的观测值K2 56.635，n ad bc 2 a b c d a c b d 30 108 18 212181515所以没有 99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关(2)风速小于 25 的区域有 7 块，2
7、 块区域风速都小于 25 的概率为 ，C27C215 15故取到 2 个区域风速不都小于 25 的概率为 1 .15 45达到强台风级别的区域有 5 块，故 X0,1,2,3.4P(X0) ，C310C315 2491P(X1) ，C210C15C315 4591P(X2) ，C10C25C315 2091P(X3) ，C35C315 291故随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 2491 4591 2091 291E(X)0 1 2 3 1.2491 4591 2091 2914选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： x y1 与曲线 C2：Err
8、or!( 为参数， 0,2)以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线 C1， C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知点 A 是射线 l： ( 0)与 C1的公共点，点 B 是 l 与 C2的公共点，当 在区间 上变化时，求 的最大值0， 2 |OB|OA|解 (1)曲线 C1的极坐标方程为 (cos sin )1，即 sin .( 4) 22曲线 C2的普通方程为( x2) 2 y24，即 x2 y24 x0，所以曲线 C2的极坐标方程为 4cos .(2)由(1)知| OA| A ，| OB| B4cos ，1cos sin 4cos (cos sin )2(
9、1cos 2 sin 2 )22 sin .|OB|OA| 2 (2 4)由 0 知 2 ，当 2 ， 2 4 4 54 4 2即 时， 有最大值 22 . 8 |OB|OA| 2选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x1| x a2|，其中 aR.(1)当 a 时，求不等式 f(x)6 的解集；2(2)若存在 x0R，使得 f(x0)4 a，求实数 a 的取值范围5解 (1)当 a 时， f(x)| x1| x2|Error!2所以 f(x)6Error! 或Error!或Error!，解得 x 或 x ，72 52因此不等式 f(x)6 的解集的Error!.(2)f(x)| x1| x a2|( x1)( x a2)| a21| a21，且 f(1) a21，所以 f(x)min a21，所以存在 x0R，使得 f(x0)4 a，等价于 4a a21，所以 a24 a10，解得 2 a2 ，3 3所以实数 a 的取值范围是(2 ，2 )3 3
