1、1第一讲 等差数列、等比数列一、选择题1(2018开封模拟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1 a510， S416，则数列 an的公差为( )A1 B2C3 D4解析：设等差数列 an的公差为 d，因为 S4 2( a1 a5 d)2(10 d)4 a1 a4216，所以 d2，故选 B.答案：B2(2018重庆模拟)在数列 an中， an1 an2， a25，则 an的前 4项和为( )A9 B22C24 D32解析：依题意得，数列 an是公差为 2的等差数列， a1 a223，因此数列 an的前4项和等于 43 224，选 C.432答案：C3(2018益阳、湘潭联考)已知
2、等比数列 an中， a53， a4a745，则 的值为a7 a9a5 a7( )A3 B5C9 D25解析：设等比数列 an的公比为 q，则 a4a7 a5q29 q45，所以 q5， a5q a7 a9a5 a7 q225.故选 D.a5q2 a7q2a5 a7答案：D4(2018洛阳模拟)在等差数列 an中，若 Sn为前 n项和，2 a7 a85，则 S11的值是( )A55 B11C50 D60解析：设等差数列 an的公差为 d，由 2a7 a85，得 2(a6 d) a62 d5，得a65，所以 S1111 a655，故选 A.答案：A25(2018昆明模拟)已知等差数列 an的公差为
3、 2，且 a4是 a2与 a8的等比中项，则an的通项公式 an( )A2 n B2 nC2 n1 D2 n1解析：由题意，得 a2a8 a ，又 an a12( n1)，所以( a12)( a114)( a16) 2，24解得 a12，所以 an2 n.故选 B.答案：B6(2018长沙中学模拟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若a4 a12 a88， a10 a64，则 S23( )A23 B96C224 D276解析：设等差数列 an的公差为 d，依题意得a4 a12 a82 a8 a8 a88， a10 a64 d4， d1， a8 a17 d a178， a11， S2323
4、1 1276，选 D.23222答案：D7(2018长春模拟)等差数列 an中，已知| a6| a11|，且公差 d0，则其前 n项和取最小值时 n的值为( )A6 B7C8 D9解析：由 d0 可得等差数列 an是递增数列，又| a6| a11|，所以 a6 a11，即 a15 d a110 d，所以 a1 ，则 a8 0， a9 0，所以前 8项和为前 n项15d2 d2 d2和的最小值，故选 C.答案：C8(2018惠州模拟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a9 a126， a24，则12数列 的前 10项和为( )1SnA. B.1112 1011C. D.910 89解析
5、：设等差数列 an的公差为 d，由 a9 a126 及等差数列的通项公式得12a15 d12，又3a24， a12， d2， Sn n2 n， ， 1Sn 1n n 1 1n 1n 1 1S1 1S2 1S10(1 )( )( )1 .选 B.12 12 13 110 111 111 1011答案：B9一个等差数列的前 20项的和为 354，前 20项中偶数项的和与奇数项的和之比为3227，则该数列的公差 d( )A1 B3C5 D7解析：法一：设等差数列的首项为 a1，由题意可得Error!法二：由已知条件，得Error!，解得Error!，又 S 偶 S 奇 10 d，所以 d 3.192
6、 16210答案：B10(2018惠州模拟)设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a62 a3，则 ( )S11S5A. B.115 522C. D.1110 225解析： .故选 D.S11S5112 a1 a1152 a1 a5 11a65a3 225答案：D11已知数列 an的前 n项和 Sn an2 bn(a， bR)，且 S25100，则 a12 a14( )A16 B8C4 D不确定解析：由数列 an的前 n项和 Sn an2 bn(a， bR)，可得数列 an是等差数列，S25 100，解得 a1 a258，所以 a12 a14 a1 a258. a1 a25 252答案：B
7、12等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a10，若存在自然数 m3，使得 am Sm，则当 n m时， Sn与 an的大小关系是( )A Sn an B Sn anC Sn an D大小不能确定解析：若 a10，存在自然数 m3，4使得 am Sm，则 d0.因为 d0 时，数列是递减数列，则 Sm am，不存在 am Sm.由于 a10， d0，当 m3 时，有 am Sm，因此 am0， Sm0，又 Sn Sm am1 an，显然 Sn an.答案：C二、填空题13(2018南宁模拟)在等比数列 an中， a2a616， a4 a88，则 _.a20a10解析：法一：设等比数列 an的
8、公比为 q，由 a2a616 得 a q616， a1q34.由21a4 a88，得 a1q3(1 q4)8，即 1 q42， q21.于是 q101.a20a10法二：由等比数列的性质，得 a a2a616， a44，又 a4 a88，Error!或24Error!. a a4a80，Error!则公比 q满足 q41， q21， q101.26a20a10答案：114(2018合肥模拟)已知数列 an中， a12，且 4( an1 an)(nN *)，则其a2n 1an前 9项和 S9_.解析：由已知，得 a 4 anan1 4 a ，2n 1 2n即 a 4 anan1 4 a ( an
9、1 2 an)20，2n 1 2n所以 an1 2 an，所以数列 an是首项为 2，公比为 2的等比数列，故 S9 2 1021 022.2 1 291 2答案：1 02215若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则 ln a1ln a2ln a20_.解析：因为 a10a11 a9a122 a10a112e 5，所以 a10a11e 5.所以 ln a1ln a2ln a20ln( a1a2a20)ln( a1a20)(a2a19)(a10a11)ln( a10a11)1010ln( a10a11)10ln e 550ln e50.答案：50516(2017
10、高考北京卷)若等差数列 an和等比数列 bn满足a1 b11， a4 b48，则 _.a2b2解析：设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则由 a4 a13 d，得 d 3，a4 a13 8 13由 b4 b1q3得 q3 8， q2.b4b1 8 1 1.a2b2 a1 db1q 1 3 1 2答案：1三、解答题17(2018南京模拟)已知数列 an的前 n项和 Sn2 n1 2，记 bn anSn(nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 bn的前 n项和 Tn.解析：(1) Sn2 n1 2，当 n1 时， a1 S12 11 22；当 n2 时， an
11、Sn Sn1 2 n1 2 n2 n.又 a122 1， an2 n.(2)由(1)知， bn anSn24 n2 n1 ， Tn b1 b2 b3 bn2(4 14 24 34 n)(2 22 32 n1 )2 4n1 2 n2 .4 1 4n1 4 4 1 2n1 2 23 4318(2018贵阳模拟)设等比数列 an的前 n项和为 Sn，公比q0， a1 a24， a3 a26.(1)求数列 an的通项公式；(2)若对任意的 nN *， kan， Sn，1 都成等差数列，求实数 k的值解析：(1) a1 a24， a3 a26，Error! q0， q3， a11. an13 n1 3
12、n1 ，故数列 an的通项公式为 an3 n1 .(2)由(1)知 an3 n1 ， Sn ，1 1 3n1 3 3n 12 kan， Sn，1 成等差数列，2 Sn kan1，即 2 k3n1 1，解得 k3.3n 1219(2018成都模拟)已知数列 an满足 a12， an1 2 an4.(1)证明：数列 an4是等比数列；6(2)求数列| an|的前 n项和 Sn.解析：(1)证明： a12， a142. an1 2 an4， an1 42 an82( an4)， 2，an 1 4an 4 an4是以 2为首项，2 为公比的等比数列(2)由(1) ，可知 an42 n， an2 n4.
13、当 n1 时， a120， S1| a1|2；当 n2 时， an0. Sn a1 a2 an2(2 24)(2 n4)22 22 n4( n1)4( n1)2 n1 4 n2.又当 n1 时，上式也满足2 1 2n1 2当 nN *时， Sn2 n1 4 n2.20(2018南宁柳州联考)已知 a12， a24，数列 bn满足： bn1 2 bn2 且an1 an bn.(1)求证：数列 bn2是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解析：(1)证明：由题知， 2，bn 1 2bn 2 2bn 2 2bn 2 b1 a2 a1422， b124，数列 bn2是以 4为首项，2 为公比的等比数列(2)由(1)可得， bn242 n1 ，故 bn2 n1 2. an1 an bn， a2 a1 b1，a3 a2 b2，a4 a3 b3，an an1 bn1 .累加得， an a1 b1 b2 b3 bn1 (n2)，an2(2 22)(2 32)(2 42)(2 n2)2 2( n1)22 1 2n 11 22 n1 2 n，故 an2 n1 2 n(n2) a122 11 21，数列 an的通项公式为 an2 n1 2 n(nN *)
