1、1第二讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1(2018合肥调研)已知 x ，且 cos sin 2x，则 tan 等于( )(0， ) (2x 2) (x 4)A. B C3 D313 13解析：由 cos sin 2x 得 sin 2xsin 2x，(2x 2) x(0，)，tan x2，tan .(x 4) tan x 11 tan x 13答案：A2(2018成都模拟)已知 sin ， ，则 cos 的值为( )1010 (0， 2) (2 6)A. B.43 310 43 310C. D.4 3310 33 410解析：sin ， ，cos ，1010 (0， 2) 31010sin
2、2 2sin cos 2 ，1010 31010 610 35cos 2 12sin 2 12 21 ，(1010) 15 45cos .(2 6) 45 32 35 12 43 310答案：A3(2018昆明三中、五溪一中联考)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，若 ABC 的面积为 S，且 2S( a b)2 c2，则 tan C 等于( )A. B.34 43C D43 34解析：因为 2S( a b)2 c2 a2 b2 c22 ab，由面积公式与余弦定理，得 absin C2 abcos C2 ab，即 sin C2cos C2，所以(sin C2cos
3、 C)24，24，sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C cos2C所以 4，tan2C 4tan C 4tan2C 1解得 tan C 或 tan C0(舍去)43答案：C4在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 0，cos B BDC ， 4所以 BCA ，所以 cos BCA . 6 32在 ABC 中，AB2 AC2 BC22 ACBCcos BCA262 2，2 632所以 AB ，所以 ABC ，2 6在 BCD 中， ，BCsin BDC CDsin DBC即 ，解得 CD .622CD12 3答案： 3三、解答题613(201
4、8武汉调研)在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，满足cos 2Acos 2 B2cos cos 0.( 6 B) ( 6 B)(1)求角 A 的值；(2)若 b 且 b a，求 a 的取值范围3解析：(1)由 cos 2Acos 2 B2cos cos 0，( 6 B) ( 6 B)得 2sin2B2sin 2A2 0，(34cos2B 14sin2B)化简得 sin A ，又 ABC 为锐角三角形，故 A .32 3(2) b a， c a， C ， B ，3 3 2 6 3 sin B .12 32由正弦定理 ，asin A bsin B得 ， a ，a
5、32 3sin B32sin B由 sin B 得 a ，3)(12， 32 314(2018唐山模拟)在 ABC 中， AB2 AC2， AD 是 BC 边上的中线，记 CAD ， BAD .(1)求 sin sin ；(2)若 tan sin BAC，求 BC.解析：(1) AD 为 BC 边上的中线， S ACD S ABD， ACADsin ABADsin ，12 12sin sin AB AC21.(2)tan sin BACsin( )，sin sin( )cos ，2sin sin( )cos ，2sin( ) sin( )cos ，sin( )cos 2cos( )sin ，s
6、in( )2cos( )tan ，7又 tan sin BACsin( )0，cos( )cos BAC ，12在 ABC 中， BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC3， BC .315(2018广州模拟)已知 a， b， c 是 ABC 中角 A， B， C 的对边，且 3cos Bcos C23sin Bsin C2cos 2A.(1)求角 A 的大小；(2)若 ABC 的面积 S5 ， b5，求 sin Bsin C 的值3解析：(1)由 3cos Bcos C23sin Bsin C2cos 2A，得 3cos(B C)22cos 2A，即 2cos2A3cos A20，即
7、(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A 或 cos A2(舍去)12因为 0A，所以 A . 3(2)由 S bcsin A bc5 ，得 bc20，12 34 3因为 b5，所以 c4.由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 a22516220 21，12故 a .21根据正弦定理 ，asin A bsin B csin C得 sin Bsin C sin A sin A .ba ca 5716(2018山西八校联考)在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，且(a c)2 b23 ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，且 si
8、n Bsin( C A)2sin 2 A，求 ABC 的面积解析：(1)由( a c)2 b23 ac，整理得 a2 c2 b2 ac，由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22ac ac2ac 120 B， B . 38(2)在 ABC 中， A B C，即 B( A C)，故 sin Bsin( A C)，由已知 sin Bsin( C A)2sin 2 A 可得 sin(A C)sin( C A)2sin 2 A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得 cos Asin C2sin Acos A.若 cos A0
9、，则 A ， 2由 b2，可得 c ，2tan B 233此时 ABC 的面积 S bc .12 233若 cos A0，则 sin C2sin A，由正弦定理可知， c2 a，代入 a2 c2 b2 ac，整理可得 3a24，解得 a ， c ，233 433此时 ABC 的面积 S acsin B .12 233综上所述， ABC 的面积为 .23317(2018常德市模拟)已知函数 f(x) sin x mcos x ( 0， m0)的最小2值为2，且图象上相邻两个最高点的距离为 .(1)求 和 m 的值；(2)若 f ， ，求 f 的值( 2) 65 ( 4， 34) ( 8)解析：(
10、1)易知 f(x) sin(x )( 为辅助角)，2 m2 f(x)min 2， m .2 m2 2由题意知函数 f(x)的最小正周期为 ， ，2 2.(2)由(1)得 f(x) sin 2x cos 2x2 22sin ，(2x 4) f 2sin ，( 2) ( 4) 65sin .( 4) 35 ， ，( 4， 34) 4 ( 2， )9cos ，( 4) 1 sin2( 4) 45sin sin sin cos cos sin ，( 4 4) ( 4) 4 ( 4) 4 7210 f 2sin( 8) 2( 8) 42sin 2cos 2 2(12sin 2 )(2 2)2 .1 2(7210)2 4825
