1、1第一讲 等差数列、等比数列考点一 等差、等比数列的基本运算1等差数列的通项公式及前 n项和公式an a1( n1) d；Sn na1 d.na1 an2 nn 122等比数列的通项公式及前 n项和公式an a1qn1 (q0)；SnError!对点训练1在等差数列 an中，已知 a5 a1012，则 3a7 a9( )A12 B18 C24 D30解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，因为 a5 a1012，所以 2a113 d12，所以 3a7 a93( a16 d) a18 d4 a126 d2(2 a113 d)21224.答案 C2(2018山东青岛模拟)公差不为 0的等
2、差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a63 a4，且 S9 a 4，则 的值为( )A18 B20 C21 D25解析 设公差为 d，由 a63 a4，且 S9 a 4，得Error!解得 18，故选 A.答案 A3已知等比数列 an满足 a1 ， a3a54( a41)，则 a2( )14A2 B1 C. D.12 18解析 设等比数列 an的公比为 q，由 a1 ， a3a54( a41)，可知 q1，则14a1q2a1q44( a1q31)， q64 ， q616 q3640，( q38) 20，116 (14q3 1)2即 q38， q2， a2 ，故选 C.12答案 C4在等比数列
3、 an中，若 a4 a26， a5 a115，则 a3_.解析 设等比数列 an的公比为 q，则Error!两式相除，得 ，即q1 q2 252q25 q20，解得 q2 或 q .12所以Error!或Error!故 a34 或 a34.答案 4 或4快速审题 看到求项、求和，想到求 a1， d， q及通项公式、前 n项和公式等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项 a1和公差 d(公比 q)是两个最基本的元素(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量考点二 等差
4、、等比数列的性质对点训练1(2018山西太原一模)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a2 a3 a109，则S9( )A3 B9 C18 D27解析 设等差数列 an的公差为 d， a2 a3 a109，3 a112 d9，即3a14 d3， a53， S9 9 a527，故选 D.9a1 a92答案 D2(2018山东菏泽一模)在等比数列 an中， a2， a16是方程 x26 x20 的根，则的值为( )a2a16a9A2 B C. D 或2 2 2 2解析 设等比数列 an的公比为 q，由 a2， a16是方程 x26 x20 的根，可得a2a162，所以 a 2，则 a9 .
5、故选 D.29a2a16a9 2答案 D3(2018合肥模拟)设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 S51， S103，则 S15的值是_解析 数列 an是等比数列， S5， S10 S5， S15 S10成等比数列，( S10 S5)2 S5(S15 S10)，41( S153)，得 S157.答案 7探究追问 3 题中条件不变，如何求 S100的值？解析 在等比数列 an中， S5， S10 S5， S15 S10，成等比数列，因为S51， S103，所以 S100可表示为等比数列 1,2,4，的前 20项和，故 S1002 201.11 2201 2答案 2 201快速审题 看到等差
6、、等比数列，想到等差、等比数列项的性质、和的性质等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解考点三 等差、等比数列的判定与证明1证明数列 an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明 an1 an(nN *)为一常数；(2)利用等差中项，即证明 2an an1 an1 (n2)2证明数列 an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明 (nN *)为一常数；an 1an4(2)利用等比中项，即证明 a an1 an1 (n2)2n解 (1)证明：由 a11，及 Sn1 4 an2，有 a1 a24 a12，
7、a23 a125， b1 a22 a13.由 Sn1 4 an2知当 n2 时，有 Sn4 an1 2得 an1 4 an4 an1 ， an1 2 an2( an2 an1 )又 bn an1 2 an， bn2 bn1 ， bn是首项 b13，公比为 2的等比数列(2)由(1)可得 bn an1 2 an32 n1 ， ，an 12n 1 an2n 34数列 是首项为 ，公差为 的等差数列an2n 12 34 ( n1) n ， an(3 n1)2 n2 .an2n 12 34 34 145等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前 n
8、项和公式的特征，但不能作为证明方法(2)a an1 an1 (n2)是数列 an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项2n是否为零对点训练若数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 an2 SnSn1 0( n2)， a1 .12(1)求证： 成等差数列；1Sn(2)求数列 an的通项公式解 (1)证明：当 n2 时，由 an2 SnSn1 0，得 Sn Sn1 2 SnSn1 ，所以 2，1Sn 1Sn 1又 2，故 是首项为 2，公差为 2的等差数列1S1 1a1 1Sn(2)由(1)可得 2 n， Sn ，1Sn 12n当 n2 时， an Sn Sn1 12n 12n 1 .n 1
9、 n2nn 1 12nn 1当 n1 时， a1 不适合上式12故 anError!1(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n项和若 3S3 S2 S4， a12，则a5( )A12 B10 C10 D12解析 解法一：设等差数列 an的公差为d，3 S3 S2 S4，3 2 a1 d4 a1 d，解得(3a1322 d) 432d a1， a12， d3， a5 a14 d24(3)10.故选 B.32解法二：设等差数列 an的公差为d，3 S3 S2 S4，3 S3 S3 a3 S3 a4， S3 a4 a3，3 a1 d d， a12，3226 d3， a5 a14 d24(3
10、)10.故选 B.答案 B2(2017全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n项和若 a4 a524， S648，则an的公差为( )A1 B2 C4 D8解析 解法一：等差数列 an中， S6 48，则 a1 a616 a2 a5，a1 a662又 a4 a524，所以 a4 a22 d24168，得 d4，故选 C.解法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前 n项和公式可列方程组，得Error!即Error!解得Error!故选 C.答案 C3(2017全国卷)等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前 6项的和为( )A24 B3 C3 D8
11、解析 设等差数列 an的公差为 d，依题意得 a a2a6，即(12 d)2(1 d)23(15 d)，解得 d2 或 d0(舍去)，又 a11， S661 (2)24.故652选 A.答案 A4(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( )122A. f B. f C. f D. f32 322 1225 1227解析 由题意知，十三个单音的频
12、率构成首项为 f，公比为 的等比数列，设该等122比数列为 an，则 a8 a1q7，即 a8 f，故选 D.1227答案 D5(2017江苏卷)等比数列 an的各项均为实数，其前 n项和为 Sn.已知 S3 ， S674，则 a8_.634解析 设等比数列 an的公比为 q.当 q1 时， S33 a1， S66 a12 S3，不符合题意， q1，由题设可得Error!7解得Error! a8 a1q7 2732.14答案 32高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在 47 题的位置或 1314 题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主热点
13、课题 10 数列中的最值问题感悟体验1(2018江西五校联考)在等差数列 an中，已知 a3 a80，且 S90， S90， S9 9 a50， S1、 S2、 S9中最小的是 S5，故选 A.答案 A2(2018山东青岛模拟)已知 an (nN *)，则在数列 an的前 50项中，最n 2017n 2018小项和最大项分别是( )A a1， a50 B a1， a44C a45， a50 D a44， a45解析 ann 2017n 2018n 2018 2018 2017n 20181 .2018 2017n 2018结合函数 y a (c0)的图象，要使 an最大，则需 n 最小且 n
14、0，cx b 2018 2018当 n45 时， an最大，当 n44 时， an最小答案 D专题跟踪训练(十八)一、选择题1(2018长郡中学摸底)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若a4 a12 a88， a10 a64，则 S23( )A23 B96 C224 D276解析 设等差数列 an的公差为 d，依题意得a4 a12 a82 a8 a8 a88， a10 a64 d4，解得 d1，所以 a8 a17 d a178，解得 a11，所以 S23231 1276，选 D.23222答案 D2已知数列 an为等比数列，且 a11， a34， a57 成等差数列，则公差 d为( )A
15、2 B3 C4 D5解析 设 an的公比为 q，由题意得 2(a34) a11 a57 2a3 a1 a52q21 q4q21，即 a1 a3， d a34( a11)413，选 B.答案 B3等比数列 an中，已知 a1 a38， a5 a74，则 a9 a11 a13 a15的值为( )A1 B2 C3 D59解析 因为 an为等比数列，所以 a5 a7是 a1 a3与 a9 a11的等比中项，所以( a5 a7)2( a1 a3)(a9 a11)，故 a9 a11 2；a5 a72a1 a3 428同理， a9 a11是 a5 a7与 a13 a15的等比中项，所以( a9 a11)2(
16、 a5 a7)(a13 a15)，故 a13 a15 1.所以a9 a112a5 a7 224a9 a11 a13 a15213.答案 C4已知等比数列 an中 a21，则其前 3项的和 S3的取值范围是( )A(，1 B(，0)1，)C3，) D(，13，)解析 因为等比数列 an中 a21，所以 S3 a1 a2 a3 a2 1 q .(1 q1q) 1q当公比 q0时， S31 q 12 3；1q q1q当公比 q0时， S31 12 1，( q1q) q( 1q)所以 S3(，13，)故选 D.答案 D5(2018江西七校联考)等差数列 an， bn的前 n项和分别为 Sn， Tn，若
17、 SnTn(nN *)，则 ( )38n 142n 1 a6b7A16 B. C. D.24215 43223 49427解析 令Sn38 n214 n， Tn2 n2 n， a6 S6 S5386 2146(385 2145)381114； b7 T7 T627 27(26 26)2131， a6b7 3811 14213 116.故选 A.43227答案 A6(2018河南郑州二中期末)已知等差数列 an的公差 d0，且 a1， a3， a13成等比数列，若 a11， Sn是数列 an的前 n项的和，则 (nN *)的最小值为( )2Sn 16an 310A4 B3 C2 2 D.392解
18、析 a11， a1、 a3、 a13成等比数列，(12 d)2112 d.得 d2 或 d0(舍去) an2 n1， Sn n2，n1 2n 12 .令 t n1，2Sn 16an 3 2n2 162n 2则 t 2624 当且仅当 t3，2Sn 16an 3 9t即 n2 时等号成立， 的最小值为 4.故选 A.2Sn 16an 3答案 A二、填空题7(2018福建四地六校联考)已知等差数列 an中， a3 ，则 cos(a1 a2 a6)4_.解析 在等差数列 an中， a1 a2 a6 a2 a3 a43 a3 ，cos( a1 a2 a6)34cos .34 22答案 228(2018
19、山西四校联考)若等比数列 an的前 n项和为 Sn，且 5，则S4S2_.S8S4解析 解法一：设数列 an的公比为 q，由已知得 1 5，即S4S2 a3 a4a1 a21 q25，所以 q24， 1 1 q411617.S8S4 a5 a6 a7 a8a1 a2 a3 a4解法二：由等比数列的性质可知， S2， S4 S2， S6 S4， S8 S6成等比数列，若设S2 a，则 S45 a，由( S4 S2)2 S2(S6 S4)得 S621 a，同理得 S885 a，所以 17.S8S4 85a5a11答案 179已知数列 xn各项均为正整数，且满足 xn1 Error! nN *.若
20、x3 x43，则 x1所有可能取值的集合为_解析 由题意得 x31， x42 或 x32， x41.当 x31 时， x22，从而 x11 或 4；当 x32 时， x21 或 4，因此当 x21 时， x12，当 x24 时， x18 或 3.综上， x1所有可能取值的集合为1,2,3,4,8答案 1,2,3,4,8三、解答题10(2018沈阳市高三第一次质量监测)已知数列 an是等差数列，满足a12， a48，数列 bn是等比数列，满足 b24， b532.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列 an bn的前 n项和 Sn.解 (1)设等差数列 an的公差为 d，由题意得 d
21、 2，a4 a13所以 an a1( n1) d2( n1)22 n.设等比数列 bn的公比为 q，由题意得 q3 8，解得 q2.b5b2因为 b1 2，所以 bn b1qn1 22 n1 2 n.b2q(2)由(1)可得， Sn n2 n2 n1 2.n2 2n2 21 2n1 211(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n项和，已知 a17， S315.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值解 (1)设 an的公差为 d，由题意得3a13 d15.由 a17 得 d2.所以 an的通项公式为 an2 n9.(2)由(1)得 Sn n28 n( n4) 21
22、6.所以当 n4 时， Sn取得最小值，最小值为16.12已知数列 an和 bn满足： a1 ， an1 an n4， bn(1) n(an3 n21)，23其中 为实数， n为正整数12(1)对任意实数 ，证明数列 an不是等比数列；(2)试判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论解 (1)证明：假设存在一个实数 ，使 an是等比数列，则有 a a1a3，即22 ，故 24 9 24 ，即 90，这与事实相矛盾所以对(23 3) (49 4) 49 49任意实数 ，数列 an都不是等比数列(2)因为 bn1 (1) n1 an1 3( n1)21(1) n1 (1)(23an 2n 14) 23n(an3 n21) bn， b1( 18)，所以当 18 时， b10( nN *)，此时 bn不23是等比数列；当 18 时， b1( 18)0，则 bn0，所以 (nN *)bn 1bn 23故当 18 时，数列 bn是以( 18)为首项， 为公比的等比数列23
