1、1压轴题增分练(一)(时间：30 分钟 满分：24 分)1(12 分)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，短轴长为 2.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l： y kx m 与椭圆 C 交于 M， N 两点， O 为坐标原点若 kOMkON ，求54原点 O 到直线 l 的距离的取值范围规范解答及评分标准 (1)设焦距为 2c(c0)由题意，得 e ，2 b2.ca 32 a2 b2 c2， b1， a2.椭圆 C 的标准方程为 y21.(4 分)x24(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)联立得方程组Error!消去 y 并整理，得(4
2、k21) x28 kmx4 m240. x1 x2 ， x1x2 .8km4k2 1 4m2 44k2 1由题意，知 (8 km)24(4 k21)(4 m24)0.化简，得 m22e.规范解答及评分标准 (1)由题意，得 f( x) (x0)2xa 2x当 a0 时， f( x) ，2 x a x aax当 x(0， )时， f( x)0，a a函数 f(x)在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增(4 分)a a(2)证明：由(1)知，当 a0 时，函数 f(x)有最小值，且 f(x)min f( )1ln a.a依题意得 1ln ae.(6 分)由 ae 2，得 f(x) 2ln x
3、(x0)， x1(0，e)， x2(e，)x2e2由 f(2e)22ln20 及 f(x2)0，得 x22e，只要证 x12e x2. f(x)在(0，e)上单调递减，且 f(x1)0，只要证明 f(2e x2)0 即可(8 分)由 f(x2) 2ln x20，得 x 2e 2lnx2.x2e2 2 f(2e x2) 2ln(2e x2) 2ln(2e x2) 2e x2 2e2 4e2 4ex2 x2e22ln(2e x2)4 2ln x22ln(2e x2)， x2(e,2e)(10 分)4e2 4ex2 2e2lnx2e2 4x2e令 g(t)4 2ln t2ln(2e t)， t(e,2e)，则4teg( t) 0，4e 2t 22e t 4 e t 2et 2e t g(t)在(e,2e)上单调递增， g(t)g(e)0，即 f(2e x2)0.综上可知， x1 x22e.(12 分)
