1、1.3.2 函数的奇偶性,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,f (-2)=4=f (2),f (-1)=1=f (1),思考,实际上，对于R内任意的一个x,都有 f (-x)=(-x)2=x2=f (x),则称函数 y = x2为偶函数.,一般地，对于函数 f (x)的定义域内的任意一个x，都有f (x)=f (x)，那么 f (x)就叫做偶函数 (even function) ,理论,例如 函数 是偶 函数吗? 图象有什么特点?如下图(1),(2)所示.,举例,观察函数f(x)=x和 的图象(下图)
2、， 你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？,f(-1)=-1=-f(1),f(-2)=-2=-f(2),实际上，对于R内任意的一个x,都 有f(-x)=-x = -f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)就叫做奇函数(odd function ) ,理论,1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；,2.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,注意,3.奇、偶函数定义的逆命题
3、也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,4.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,注意,例1 判断下列函数的奇偶性：,举例,解:(1) 定义域为R, f(-x)=(-x)4=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数;,(2) 定义域为R, f(-x)=(-x)5=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数;,(3) 定义域为x|x0, f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数;,(4) 定义域为x|x0, f(-x)=1/
4、(-x)2=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数.,用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1) 首先确定函数的定义域,并且判断其定义域是否关于原点对称;,(2) 确定f(-x)与f(x)的关系;,(3) 作出相应结论:若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数;若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数.,奇偶函数图象的性质,1.奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,2.偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,说明：奇偶函数图象的性质可用于：a.简化函数图象的画法; b.判断函数的奇偶性.,例2 已知函数y=f(x)是偶函数， 它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,举例,例3 已知函数y =f (x)是奇函数,它 在y轴右边的图象如下图，画出在 y 轴左边的图象.,举例,1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数;如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数.,2.两个性质：一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称.,小结,
