1、第二章 函数,本章概览 一、地位作用 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数是高中数学的一条主线,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.本章的函数内容居于中学数学的关键地位,具有承上启下的作用. 二、内容标准 1.函数 (1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数
2、. (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.,(4)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义. (5)学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.函数与方程 (1)结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系. (2)根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 3.撰写数学文化小论文 根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)的有
3、关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式撰写有关函数概念的形成、发展或应用的小论文,在班级中进行交流.,三、核心素养 1.通过本章的学习,能够从实际生活中体会函数思想、理解函数概念,培养数学抽象的核心素养. 2.从各种具体函数的研究中,归纳、类比、深入理解函数概念.培养逻辑推理、直观想象的核心素养. 3.通过体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型中,理解建模过程,解决实际问题,培养数学建模的核心素养. 4.通过以函数的图象为辅助工具,借助几何直观理解问题,建立数与形的联系,培养直观想象的核心素养. 5.通过对函数各种性质的研究,发展运算能力,通过运算促进数学思维的发展;通过二分法
4、的学习,形成程序化解题的品质,培养数学运算的核心素养.,2.1 函 数 2.1.1 函 数,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.函数的相关概念,非空的数集,任意,唯一,确定,集合A,自变量,定义域,函数的值域,2.设a,bR,且ab,满足 的全体实数x的集合,叫做闭区间,记作 ; 满足 的全体实数x的集合叫做开区间,记作(a,b),满足 或的全体实数x的集合,叫做半开半闭区间,分别记作 或.,axb,a,b,axb,axb,axb,a,b),(a,b,【拓展延伸】 1.f(x)是一个整体,表示一个函数,f是对自变量x进行操作的程序或方法,是连接x与
5、y的纽带,按照这一“程序”,从定义域集合A中任取一个x,可得到值域y|y=f(x),且xA中唯一的y值与之对应.如f(x)=x2,f表示“求平方”,f(x)=2x+1,f表示“乘2加1”. 2.同一“f”可以“操作”不同形式的变量,如f(x)是对x进行“操作”,而f(x2)是对x2进行“操作”,f(3)是对3进行“操作”,这些“操作”形式是完全相同的,都以“f”指出的方式进行. 3.对应关系f的给出形式多样,可以是文字描述,可以是一个或几个关系式,也可以是表格、图象等,对应关系的记号除f(x)之外,通常还用g(x),h(x),F(x),G(x),H(x)等.,4.解函数问题必须遵循定义域优先的
6、原则,即一切结论都要在定义域内才有意义,具体求解时,一般从以下几个方面考虑: (1)如果f(x)为整式,其定义域为实数集R;(2)如果f(x)为分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;(4)如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;(5)f(x)=x0的定义域是xR|x0. 5.区间是数轴上某一线段或射线或直线上的点所对应的实数的取值集合的一种符号语言,区间符号内的两个字母(或数)之间用“,”隔开,如区间a,b,左端点a一定要小于右端点b,并且把b-a叫做区间的长
7、度.当一个集合不能用一个区间完全表示时,可以使用两个或两个以上的区间的并集来表示.,自我检测,1.下列函数中,与函数y=x(x0)有相同图象的一个是( ),B,2.若已知函数f(x)=x2-2x,则f(-1)的值为( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)3,D,解析:f(-1)=(-1)2-2(-1)=1+2=3.故选D.,B,4.用区间表示下列集合: (1)x|1x4用区间表示为 ; (2)x|22用区间表示为 .,答案:(1)1,4 (2)(2,6 (3)-1,+) (4)(-,-1)(2,+),类型一,函数概念的理解,课堂探究素养提升,【例1】 下列从集合A到集合B的对应关系中,
8、不能确定y是x的函数的是( ),解析:在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.A不是数集,所以不能确定y是x的函数.显然满足函数的特征,y是x的函数.故选D.,方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤:(1)A,B为非空数集;(2)A中任一元素在B中有元素与之对应;(3)B中与A中元素对应的元素唯一;(4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.,变式训练1-1:已知集合M=-1,1,2,
9、4,N=1,2,4,给出下列四个对应关系:y=x2,y=x+1,y=x-1,y=|x|,其中能构成从M到N的函数的是( ) (A) (B) (C) (D),解析:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应,中,当x=4时,y=42=16N,故不能构成函数;中,当x=-1时,y=-1+1=0N,故不能构成函数;中,当x=-1时,y=-1-1=-2N,故不能构成函数;中,当x=1时,y=|x|=1N,当x=2时,y=|x|=2N,当x=4时,y=|x|=4N,故能构成函数.故选D.,类型二,函数的概念,思路点拨:从定义域和对应法则两个角度研究
10、,如果两个函数的定义域和对应法则分别相同,就是相同的函数.如果解析式能够化简,要先化简,但是化简后定义域要与化简前保持一致.,解:(1)不是,因为f(x),g(x)的定义域不同. (2)是相同函数,尽管它们表示自变量的字母不同,但是f(x)与g(t)的定义域、对应法则相同. (3)不是.因为f(x)与g(x)的定义域不同. (4)不是.因为f(x)与g(x)的定义域不同.,方法技巧 要使函数f(x)与g(x)是相等函数,必须满足定义域和对应关系完全相同,一般是先比较定义域是否相同,其次看对应关系或值域.,解析:A.因为这两个函数的值域不同,所以这两个函数不是相等函数;B.这两个函数的定义域不同
11、,所以这两个函数不是相等函数;C.这两个函数的定义域、值域与对应关系均相同,所以这两个函数为相等函数;D.这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是相等函数.故选C.,类型三,求函数的定义域,思路点拨:解答本题可根据函数解析式的结构特点,构造使解析式有意义的不等式(组),进而解不等式求解.,解:(1)要使函数有意义,需满足|x|-20.|x|2,即x2, 所以原函数的定义域为x|x2.,(4)因为f(x-1)的定义域为(1,4,即x(1,4,所以0x-13,令x-1=t, 所以f(t)的定义域为(0,3.即f(x)的定义域为(0,3.,方法技巧 (1)函数y=f(x)以关系式的形式给出时,函数
12、的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.具体来说,常有以下几种情况: f(x)为整式型函数时,定义域为R; f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数的全体构成的集合; f(x)为根式(偶次根式)型函数时,定义域为使被开方数非负的实数的全体构成的集合; 若f(x)为0次幂或负指数幂型函数,则定义域为使得幂底数不等于零的实数的全体构成的集合; 如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集;,由实际问题建立的函数,还要符合实际问题的要求.,类型四,函数的值域,解:(1)因为0|x|4,所以-4x4且x0. 所以-82x8且2x0. 所以-72x+19且2x+11. 所以函数值域为y|-7y9且y1. 即y-7,1)(1,9.,方法技巧 求函数的值域,应先确定定义域,树立定义域优先原则,再根据具体情况求y的取值范围. 求函数值域的方法有 (1)逐个求法:当定义域为有限集时,常用此法; (2)观察法:如y=x2,可观察出y0; (3)配方法:对于求二次函数值域的问题常用此法;,(2)当x=-2,-1,0,1,2,3时,y=11,6,3,2,3,6. 故函数的值域为2,3,6,11.,谢谢观赏！,
