1、2.3 函数的应用(),目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.解实际应用题建立数学模型的步骤 利用数学模型解决现实生活为原型的应用题时,一般按以下几步进行: (1)识模:即把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向. (2)析模:就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量.,(3)建模:通过数学符号化,把问题转化为数学模型. (4)解模:对所建模型求解,得出数学结果. (5)验模:将所求结果进行检验,看是否合乎实际,得到实际问题的结果. 2.常见函数模型 (1)直线模型:即
2、一次函数模型,直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k0),通过图象可以很直观地认识它. (2)二次函数模型:二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故常常最优、最省等问题是二次函数的模型,二次函数是数学高考中永恒的话题. (3)分段函数模型:由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.,自我检测,1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( ) (A)甲比乙先出发 (B)乙比甲跑的路程多 (C)甲、乙两人的速度相同 (D)甲先到达终点,D
3、,解析:由图象知:s甲=v甲t甲,s乙=v乙t乙,最终两人跑相同的路程,但甲速度快,先到终点.,2.一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长x的函数,则其解析式是( ) (A)y=20-2x(x10) (B)y=20-2x(x10) (C)y=20-2x(5x10) (D)y=20-2x(5x10),解析:四个答案的不同之处为定义域,由底边y0得xy即x 5.,D,答案:2 500万元,类型一,一次函数模型的应用,课堂探究素养提升,【例1】 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公
4、司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元. (1)设甲地调运x台至B地,该公司运往A和B两地的总运费为y元,求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元,问能有几种调运方案? (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.,思路点拨:解答本题首先表示出运至A,B两地的电脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费. 解:(1)甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0x6,xN). 则总运费
5、y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960, 所以y=20x+960(xN,且0x6). (2)若使y1 000,即20x+9601 000,得x2.又0x6,xN,所以0x 2,xN.所以x=0,1,2,即能有3种调运方案. (3)因为y=20x+960是R上的增函数,又0x6,xN,所以当x=0时,y有最小值为960.所以从甲地运6台到A地,从乙地运8台到B地、运4台到A地,运费最低为960元.,方法技巧 (1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,本题涉及电脑台数与运费的关系,解答本题的关键在于表示出运往A,B两地的
6、电脑台数. (2)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围. (3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题.,变式训练1-1: 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按购买总价的92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯数x(个),付款为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠办法?,解:付款分为两部分,茶壶款和茶杯款,需要分别计算.由优惠办法(1)得函数关系式为y1=2
7、04+5(x-4)=5x+60(x4,xN+).由优惠办法(2)得函数关系式为y2=(204+5x)92%=4.6x+73.6(x4,xN+).当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠办法(1)应付款y1=540+60=260元;采用优惠办法(2)应付款y2=4.640+73.6=257.6元,由于y2y1,因此应选择优惠办法(2).,类型二,二次函数模型的应用,解:(1)由题意有y=(80+x)(384-4x), 整理得y=-4x2+64x+30 720.,【例2】 某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变
8、,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品. (1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的函数关系式;,解:(2)由y=-4x2+64x+30 720得y=-4(x-8)2+30 976. 所以增加8台机器每天的生产总量最大,最大生产总量为30 976件.,(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?,方法技巧 二次函数模型的实际应用问题,主要有建立二次函数模型,利用二次函数求最值或转为求解二次不等式等,在求二次函数的最值时,一定要注意二次函数的定义域,并不一定是xR.,类型三,分段函数模型的应用,【例3】 某种商品在30天内每件的销售
9、价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如 下表:,(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;,(2)根据表中提供的数据,写出日销售量Q与时间t的一次函数关系式;,解:(2)可设日销售量Q与时间t的一次函数关系式为Q=kt+b,将(10,40), (20,30)代入易求得k=-1,b=50, 所以日销售量Q与时间t的一个函数关系式为 Q=-t+50(0t30,tN).,(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天.(日销售金额=每件的销售价格日销售量),方法技巧 分段函
10、数的应用问题,关键在于自变量按什么意义分段,弄清分段标准,合理列出分段函数解析式.,变式训练3-1:一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量x(xN+)件,当x20时,年销售量总收入为(33x-x2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元,记该工厂生成并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润=年销售总收入-年总投入). (1)求y(万元)与x件的函数关系式;,(2)当该工厂的年产量为多少时,所得年利润最大?最大年利润是多少?,解:(2)当020时,y=-x+160140, 故当x=16时,所得年利润最大,最大值为156万元.,类型四
11、,数学建模,【例4】 某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的单价x(元)与相应的日销量y(个)作了统计,其数据如下:(1)能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式;,(2)设经营此商品的日销售利润为P(元),求P关于x的函数解析式,并指出当此商品的销售价每个为多少元时,才能使日销售利润P取最大值?最大值是多少?,解:(2)利润P=(x-12)(-3x+90) =-3x2+126x-1 080 =-3(x-21)2+243. 因为二次函数图象开口向下,所以当x=21时,P最大为243.即每件售价为21元时,利润最大,最大值为243元.,方法技巧 这是数学建模问题,虽然问题简单,但体现了建模的主要思路,在现实生活中有许多问题,往往隐含着量与量之间的关系,我们可以先作出草图,猜测关系,再验证这个关系,最后研究这个关系的性质,使问题得到解答.,谢谢观赏！,
