1、第2课时 等差数列的性质及应用,等差数列的性质 【问题思考】 1.给出等差数列an:1,5,9,13,其通项公式是什么?从函数的角度看,an是关于n的什么函数?其图象有什么特点? 提示通项公式为an=4n-3;an是关于n的一次函数,其图象是直线y=4x-3上的一些孤立的点.,9.请你观察几个具体的等差数列,通过计算分析判断:与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和?当m+n=p+q时,是否有am+an=ap+aq?特别地,当m+n=2t时,am,an,at之间的关系是什么? 提示等于;有am+an=ap+aq;am+an=2at.,10.填空: (1)等差数列的项的对称性:在有穷
2、等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=; (2)在等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2t,则am+an=2at.,11.做一做: 在等差数列an中,若a5=7,a9=19,则a2+a12= ,a7= . 解析a2+a12=a5+a9=7+19=26. 因为a5+a9=2a7=26, 所以a7=13. 答案26 13,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数. ( ) (2)在等差数列an中,若am+an=
3、ap+aq,则m+n=p+q. ( ) (3)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列. ( ) (4)摆动数列不可能是等差数列. ( ) (5)在等差数列an中,若m+n=p,则am+an=ap. ( ) (6)在等差数列an中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6),【例1】 导学号04994030(1)已知等差数列an,a5=10,a15=25,求a25的值; (2)已知等差数列an,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值; (3)已知数列an,bn都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7
4、=17,求a19-b19的值. 思路分析利用等差数列的性质解决各个问题.,反思感悟在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.,变式训练1(1)已知数列an为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9= . (2)已知an为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= . 解析(1)因为数列an为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2. (2)因为an为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a7
5、5也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24. 答案(1)2 (2)24,【例2】 (1)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值; (2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列. 思路分析(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.,反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下: (
6、1)当等差数列an的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,. (2)当等差数列an的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样可减少计算量.,变式训练2已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.,反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断
7、该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中. 2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.,变式训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是( ) A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届 解析依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32. 答案C,1.已知等差数列an,a7+a19=19,a5=1
8、,则a21的值为( ) A.20 B.18 C.15 D.17 解析因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18. 答案B,2.已知数列an,bn为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列2an-3bn的公差为( ) A.7 B.5 C.3 D.1 解析2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1. 答案D,3.已知数列an是等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15= . 解析a3+a15=a1+a17=a5+a13,所以a9=117. 所以a3+a15=2a9=
9、234. 答案234,4.在等差数列an中,已知a1+2a8+a15=96,则2a9-a10= . 解析a1+2a8+a15=4a8=96,a8=24. 2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24. 答案24,5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损? 解记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,则每年获利构成等差数列an,且当an11, 即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.,
