1、曲线与方程,研读教材P34-P36,研读教材P34-P36(1)“曲线的方程”、“方程的曲线” 是如何定义的？结合例1谈一谈你的理解。,(2)类比直线与圆的方程，通过阅读例2 归纳求曲线方程的一般步骤, 并请分析每步 的作用；,(3)通过上述学习，想一想解析几何问 题的一般研究方法是什么?,方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看 作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与 一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都在 _，那么，这条曲线叫作方程的曲线， 这个方程叫作曲线的方程,方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如
2、果某曲线C（看 作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与 一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都在 _，那么，这条曲线叫作方程的曲线， 这个方程叫作曲线的方程,这个方程的解,曲线上,题型一 曲线与方程的概念的理解,【例1】若命题“曲线C上的点的坐标都 是方程f(x，y)0的解”是正确的，则下列命 题为真命题的是 ( )A不是曲线C上的点的坐标，一定不满 足方程f(x，y)0B坐标满足方程f(x，y)0的点均在曲 线C上C曲线C是方程f(x，y)0的曲线D不是方程f(x，y)0的解，一定不是 曲线C上的点,判断方程是否是曲线的方程，要从
3、 两方面考虑，一是检验点的坐标是否都 适合方程，二是检验以方程的解为坐标 的点是否都在曲线上,归纳升华领悟,判断下列结论的正误，并说明理由。 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=0； (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2； (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1； (4)ABC的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x=0.,【练习1】,【例2】,题型二 由方程确定曲线,曲线的方程是曲线的代数体现，判 断方程表示什么曲线，可根据方程的特 点利用配方、因式分解等方法对已知方 程变形，转化为我们熟知的曲线方程， 在变
4、形时，应保证变形过程的等价性,点拨,(1)根据已知条件，求出表示 _；(2)通过曲线的方程，研究曲线 的_,1.解析几何研究的主要问题,(1)根据已知条件，求出表示 _；(2)通过曲线的方程，研究曲线 的_,曲线的方程,1.解析几何研究的主要问题,(1)根据已知条件，求出表示 _；(2)通过曲线的方程，研究曲线 的_,曲线的方程,性质,1.解析几何研究的主要问题,(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P= _； (3)用_表示条件p(M)，列出方程_ ； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点
5、都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？,2.求曲线方程的一般步骤,(x，y),(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P= _； (3)用_表示条件p(M)，列出方程_ ； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？,2.求曲线方程的一般步骤,(x，y),M|p(M),(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P= _； (3)用_表示条件p(M)，列出方程_ ； (4)化方程f(x，
6、y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？,2.求曲线方程的一般步骤,(x，y),M|p(M),坐标,(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P= _； (3)用_表示条件p(M)，列出方程_ ； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？,2.求曲线方程的一般步骤,(x，y),M|p(M),f(x，y)=0,坐标,(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)
7、写出适合条件p的点M的集合P= _； (3)用_表示条件p(M)，列出方程_ ； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？,2.求曲线方程的一般步骤,(x，y),M|p(M),f(x，y)=0,坐标,(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P= _； (3)用_表示条件p(M)，列出方程_ ； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？,提示 可以。如果化简前后方程的
8、解集是相同 的，可以省略步骤“结论”，如有特殊情况，可以 适当说明，也可以根据情况省略步骤“写集合”， 直接列出曲线方程。,2.求曲线方程的一般步骤,题型一 直接法求曲线方程,小专题： 求曲线方程,【例1】已知 一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，求这条曲线的方程。,M,【变式1】设两定点A，B距离为 8，求到A，B两点距离的平方和是50 的动点的轨迹方程,解：以A，B两点连线 为x轴，A为坐标原点建立 直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(8，0)设曲 线上的动点P(x，y),直接法是求轨迹方程的最基
9、本的方法， 根据所满足的几何条件，将几何条件 M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)=0， 然后进行等价变换，化简为f(x，y)=0.要注意 轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也 就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不 能少。,规律方法,题型二 定义法求曲线方程,【例2】已知定长为6的线段，其端 点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB 的中点为M，求M点的轨迹方程,解：作出图象如图 所示，根据直角三角形 的性质可知,O,A,M,y,B,x,所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为 半径的圆，故M点的轨迹方程为x2y29.,如果动点的轨迹满足某种已知曲线 的定义，则可依据定义结合条件写出
10、动 点的轨迹方程。利用定义法求轨迹要善 于抓住曲线的定义特征。,规律方法,题型三 代入法求曲线方程,【例3】已知动点M在曲线x2y2=1 上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为 P， P点的轨迹方程。,规范解答,又M在曲线x2y21上， (2x3)24y21 P点的轨迹方程为(2x3)24y21.,【题后反思】代入法求轨迹方程就是 利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0) 坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知 曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表 示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y 表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方 程即可求得所求动点P的轨迹
11、方程。,【变式2】已知ABC的顶点A(3，0)， B(0，3)，另一个顶点C在曲线x2y2=9上运 动。求ABC重心M的轨迹方程。,解：设ABC顶点C(x0，y0)，则x02y02=9. 设ABC重心M(x，y) 由三角形重心坐标公式得：,代入式得：(3x3)2(3y3)29， 化简得：(x1)2(y1)21. 此即为ABC重心M的轨迹方程。,(1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为 (x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式。(2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学 曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程 写出动点的轨迹方程。(3)代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲 线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点。 具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已 知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方 程，由此可求得动点坐标(x，y)满足的关系。,求曲线方程的常见方法,(4)参数法：如果问题中所求动点满足 的几何条件不易得出，也没有明显的相关 点，但能发现这个动点受某个变量(像角 度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的 影响，此时，可先建立x、y分别与这个变量 的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得 到x、y的关系式,
