1、导数的概念及其几何意义,平均变化率:,【提出问题】:,问题1:你认为运动员在这段时间内是静止的吗?,问题2:你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,问题3:为了不断提高成绩,应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析,如何求运动员的瞬时速度?,问题4:你能够设计一个方案,求运动员的在某时刻的瞬时速度吗?,探究:,问题1:运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示?,问题4:怎么求一个函数在某个点处的导数值?,问题3:怎样理解 无限趋向于0? 与 的具体取值有关系吗?,【提出问题】:,问题2:函数在某一的瞬时变化率可以怎样表示?,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般
2、方法:,口诀:一差、二化、三极限,问题1:在刚才的跳水问题中运动员的高度函数的图像是怎样的?,问题2:函数 在 上的平均变化率是 ,你能说出它的几何意义吗?,问题3:当 变化时,直线如何变化?,问题4:当 时,直线又是如何变化的?,【提出问题】:,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,问题1:圆的切线的定义还适合曲线的切线吗?曲线与切线一定只有一个交点吗?,问题2:割线与切线有什么关系?割线的斜率和切线的斜率怎么计算?有什么关系?,问题3:曲线的切线与切点的位置有关系吗? 问题4:怎样求曲线的切线方程?,【提出问题】:,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线。所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质。,结论:以直代曲是微积分中的重要的思想方法,即以简单的对象(切线)来刻画复杂的对象(曲线)。大多数的曲线就一小范围来看,大致可看成直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即以直代曲。,