1、椭圆的定义及其方程与性质,1、椭圆的第一定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,几点说明：,1、F1、F2是两个不同的定点；,2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；,3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）；,4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）,2、椭圆的标准方程,焦点在x轴上的椭圆的标准方程：设焦点为，长轴长为2a,短轴长为2b（ab),则椭圆的标准方程为， 其
2、中 .其范围 对称轴为x轴、y轴；顶点 离心率 类似的，可以写出焦点在y轴上的椭圆标准方程及其性质。,O,X,Y,F1,F2,M,如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+ |MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2c
3、x+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),O,X,Y,F1,F2,M,(0,-c),(0 , c),椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（3）由椭
4、圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。,椭圆的标准方程,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a,小 结：,注意：,（3）若a2在 x2之下，则焦点在x轴上；,若a2在y2之下，则焦点在y轴上.,（2）a、b、c有关系式：c2=a2-b2，即,a2=b2+c2，a最大.,（1）在两种方程中，总有ab0;,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则三角形
5、F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,F1,F2,C,D,例题讲解,(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则三角形F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为_,（2）满足a=4,c= ，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为_,教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0），椭圆上的一点P到两焦点距离的和
6、等于10；,解： 椭圆的焦点在x轴上, 设它的标准方程为, 所求的椭圆的标准方程为, 2a=10， 2c=8, a=5， c=4,（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点,解： 椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知，,教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：, 设它的标准方程为,又 c=2, 所求的椭圆的标准方程为,教材例2 ： 已知B、C是两个定点，|BC|=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。,分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。,解：建立如图坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与B
7、C的中点重合。,|BC|=6 ，|AB|+|AC|=166=10，,但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是:,O,X,Y,B,C,A,经画图分析，点A的轨迹是椭圆。,2c=6，,2a=16-6=10，,c=3，a=5,所以点A的轨迹是椭圆，,教材例3: 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP中点M的轨迹。,解：设M(x,y), P(x0,y0),所以M点的轨迹是一个椭圆。,例3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,解：由 4x2+ky2=1,可得,因为方程表示的曲线是
8、焦点在y轴上的椭圆，所以,即：0k4,所以k的取值范围为0k4。,例4、化简：,O,X,Y,F1,F2,M,(0,-3),(0 , 3),(x,y),答案：,|MF1|+ |MF2|=10,分析：点M(x,y)到两定点(0,-3)、(0,3)的距离之和为定值10。,3、椭圆的第二定义（性质补充）：,平面上到一个定点（焦点）和到一条定直线（准线）的距离之比为小于1的正常数（离心率）的点的轨迹是一个椭圆；,准线方程为 ；,设 为椭圆上一点，则椭圆的左焦半径 ，右焦半径 ；,椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后， 反射光线会通过另一个焦点。,例5 给定 ，已知 是椭圆 上的点，F是左焦点，当 取最小值时，求点B的坐标.,例6 已知椭圆C： 的左右焦点分别是 、 ，离心率为 ，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线 与 椭圆C的一个公共点，P是点 关于直线 的对称点，设 1.证明： 2.确定 的值，使得 为等腰三角形.,三、小 结：,1、椭圆的两种定义,2、两种标准方程的比较,3、椭圆的准线概念以及光学性质,
