1、2.5.1 离散型随机变量的均值,第2章 2.5 随机变量的均值和方差,学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量的均值的性质. 3.掌握两点分布、二项分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望,设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.,思考1,任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？,答案,答案 X5,6,7.,思考2,当X取上述值时
2、，对应的概率分别是多少？,答案,思考3,如何求每个西瓜的平均重量？,答案,(1)数学期望：E(X) . (2)性质 pi0，i1,2，n；p1p2pn1. (3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的 .,离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表：,梳理,x1p1x2p2xnpn,平均水平,知识点二 两点分布、超几何分布、二项分布的均值,1.两点分布：若X01分布，则E(X) . 2.超几何分布：若XH(n，M，N)，则E(X) . 3.二项分布：若XB(n，p)，则E(X) .,p,np,题型探究,命题角度1 一般离散型随机变量的均值 例1 某同学参加
3、科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；,解答,类型一 离散型随机变量的均值,解 X的可能取值为300，100,100,300. P(X300)0.230.008，,P(X300)0.830.512， 所以X的概率分布如下表：,所以E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分).,(2)求这名同学总得分不为负分(即X0)的概率.,解 这名同学总得分不为负分的概率为P(
4、X0) P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.,解答,求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(Xk). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X).,反思与感悟,跟踪训练1 在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元，20个奖品是25元，5个奖品是100元.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？,解答,解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意X的概率分布如下表：,0.2，所以一张彩票的合理价格是0.2元
5、.,命题角度2 二项分布与两点分布的均值 例2 某运动员投篮命中率为p0.6. (1)求投篮1次命中次数X的均值；,解 投篮1次，命中次数X的概率分布如下表：,解答,则E(X)0.6.,(2)求重复5次投篮，命中次数Y的均值.,解 由题意知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)， E(Y)np50.63.,解答,引申探究 在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量5Y2.求E().,解 E()E(5Y2)5E(Y)253217.,解答,(1)常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 两点分布E(X)p； 二项分布E(X)np. 熟练应用上述两公式可大大减少运算量
6、，提高解题速度. (2)两点分布与二项分布辨析 相同点：一次试验中要么发生要么不发生. 不同点： a.随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X0,1,2，n. b.试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.,反思与感悟,跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；,解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p(10.5)0.3，解得p0.6. 设所求概率为P1，则P11(10.5)(
7、10.6)0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.,解答,(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值.,解 每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (10.5)(10.6)0.2. XB(100,0.2)，E(X)1000.220. X的均值是20.,解答,命题角度3 超几何分布的均值 例3 一个口袋内有n(n3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n3)个白球.已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数的均值E().,解答,方法一 白球的个数可取0,1,2.,方法二 取到白球的个数服
8、从参数为N5，M2，n3的超几何分布，,(1)超几何分布模型 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P(Xk) k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*. (2)超几何分布均值的计算公式 若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X),反思与感悟,跟踪训练3 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E(X).,解答,方法二 由题意可知，X服从N15，M2，n3的超几何分布，,例4 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一
9、方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率；,解 记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”. 则AA1A2. P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2),类型二 均值的应用,解答,(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值.,解 X的可能取值为0,1,2. 记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.,解答,
10、解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值.,反思与感悟,跟踪训练4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；,解答,解 记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球， A2从乙箱中摸出的1个球是红球， B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾
11、客抽奖1次能获奖.,故所求概率为,(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和均值.,解答,故X的概率分布如下表：,当堂训练,1.现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为 随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为_.,答案,2,3,4,1,解析,1.18,2,3,4,1,解析 因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，,所以X的概率分布如下表：,2.若p为非负实数，随机变量的概率分布如下表：,答案,2,3,4,1,解析,则E()的最大值为_.,3.设随机变量XB(4
12、0，p)，且E(X)16，则p_.,答案,2,3,4,1,解析,解析 E(X)np40p16，得p0.4.,0.4,4.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个 (n1,2,3,4).现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的概率分布、均值；,2,3,4,1,解答,解 的概率分布如下表：,(2)若a4，E()1，求a的值.,2,3,4,1,解答,规律与方法,1.求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值. (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否. (3)根据公式写出均值. 2.若X、Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.,本课结束,
