1、第2章,推理与证明,2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明,学习目标 1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.,预习导引 1.直接证明 直接 逐步推得 的证明通常称为 直接证明. 是直接证明中
2、最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.,从原命题的条件,命题成立,综合法和分析法,2.综合法 从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 为止，这种证明方法通常称为综合法.,已知条件,要证明的结论,3.分析法 从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和 吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.,问题的结论,已知条件或已知事实,要点一 综合法的应用 例1 已知a，b是正数，且ab1，证明 方法一 a，b是正数且ab1，,方法二 a，b是正数，,又ab1，,当且仅当ab时，取“”.,规律方法 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方
3、向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转,化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.,跟踪演练1 在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形. 证明 由A、B、C成等差数列， 有2BAC. 因为
4、A、B、C为ABC的内角， 所以ABC. ,由，得B . 由a、b、c成等比数列， 有b2ac. 由余弦定理及， 可得b2a2c22accos Ba2c2ac. 再由， 得a2c2acac，,即(ac)20， 因此ac， 从而有AC. 由， 得ABC . 所以ABC为等边三角形.,要点二 分析法的应用 例2 设a，b为实数，证明 当ab0时，,当ab0时，用分析法证明如下：,即证a2b22ab.,a2b22ab对一切实数恒成立，,综上所述，不等式得证.,规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公
5、理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证只需”或“”.,跟踪演练2 如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F. 求证：AFSC. 证明 要证AFSC， 只需证SC平面AEF， 只需证AESC(因为EFSC)，,只需证AE平面SBC， 只需证AEBC(因为AESB)， 只需证BC平面SAB， 只需证BCSA(因为ABBC). 由SA平面ABC可知上式成立， 所以AFSC.,要点三 综合法和分析法的综合应用 例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.,由已知0x1，,规律方法
6、综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.,证明 由已知条件得b2ac， 2xab,2ybc. ,只要证aycx2xy， 只要证2ay2cx4xy. 由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc， 4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc， 所以2ay2cx4xy.命题得证.,1.下列表述： 综合法是由因导果法； 综合法是顺推法； 分析法是执果索因法； 分析法是
7、间接证明法； 分析法是逆推法.其中正确的语句有_个. 解析 正确.,1,2,3,4,4,1,2,3,4,2.设a，b是两个正实数，且ab，则下列式子一定成立的是_.,1,2,3,4,所以左边log1952log1933log192 log195log1932log1923,1,2,3,4,log19(53223)log19360. 因为log19360log193612，,求证：cos sin 3(cos sin ). 证明 要证cos sin 3(cos sin )，,1,2,3,4,1,2,3,4,只需证1tan 3(1tan )，,1,2,3,4,1tan 2tan ， 即2tan 1.,结论得证.,课堂小结 1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因. 2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有,综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.,
