1、6.3.2 随机变量及其分布,-2-,考向一,考向二,考向三,依据统计数据求事件发生的概率 例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
2、,-3-,考向一,考向二,考向三,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,-4-,考向一,考向二,考向三,解: (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.,-5-,考向一,考向二,考向三,(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件
3、:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”, 则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1CB2CA2) =P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).,-6-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的事件或一独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解. 2.间接法:当复杂事
4、件正面情况比较多,反面情况比较少,则可利用其对立事件进行求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.,-7-,考向一,考向二,考向三,对点训练 1(2018河北唐山三模,理18)某球迷为了解A,B两支球队的攻击能力,从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下: A球队:122 110 105 105 109 101 107 129 115 100 114 118 118 104 93 120 96 102 105 83 B球队:114 114 110 108 103 117 93 124 75 106 91 81 107 112 10
5、7 101 106 120 107 79 (1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图,并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);,-8-,考向一,考向二,考向三,(2)根据球队所得分数,将球队的攻击能力从低到高分为三个等级:记事件C:“A球队的攻击能力等级高于B球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,-9-,考向一,考向二,考向三,解: (1)两队所得分数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值; A球队所得分数比较集中,B球队
6、所得分数比较分散.,-10-,考向一,考向二,考向三,(2)记CA1表示事件:“A球队攻击能力等级为较强”, CA2表示事件:“A球队攻击能力等级为很强”; CB1表示事件:“B球队攻击能力等级为较弱”, CB2表示事件:“B球队攻击能力等级为较弱或较强”,-11-,考向一,考向二,考向三,离散型随机变量的分布列(多维探究) 题型1 相互独立事件、互斥事件的概率及分布列 例2(2018河北保定一模,理18)某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放着编号为4,5的两个小球
7、(小球除编号外其他都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所买的衣服打7折).要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A、B、C三位顾客各买了一件衣服. (1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率; (2)A、B两位顾客都选了定价为2 000元的一件衣服,设X为打折后两位顾客的消费总额,求X的分布列和数学期望.,-12-,考向一,考向二,考向三,-13-,考向一,考向二,考向三,-14-,考向一,考向二,考向三,解题心得字母表示事件法:使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类
8、问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.,-15-,考向一,考向二,考向三,对点训练 2(2018北京卷,理17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评 的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.,-16-,考向一,考向二,考向三,(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.
9、用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系.,-17-,考向一,考向二,考向三,解: (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A, 第四类电影中获得好评的电影为2000.25=50(部).(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B, P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35.,-18-,考向一,考向二,考向三,-19-,考向一,考向二,考向三,-20-,考向一,考向二,考向三,-21-
10、,考向一,考向二,考向三,题型2 超几何分布 例3(2018天津卷,理16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; 设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.,-22-,考向一,考向二,考向三,-23-,考向一,考向二,考向三,-24-,考向一,考向二
11、,考向三,解题心得超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)= ,k=0,1,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.,-25-,考向一,考向二,考向三,对点训练 3甲、乙两人参加普法知识竞赛,共设有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个. (1)若甲、乙二人依次各抽一题,计算: 甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是多少? 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? (2)若甲从中随机抽取5个题目,其中判断题的个数为,求的分布列和期望.,-26-,考向一,考向二,考向三,-27-,考向一,考向二,考向三,题型3 条件概率与
12、其分布列的综合 例4某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.,-28-,考向一,考向二,考向三,-29-,考向一,考向二,考向三,解题心得在P(A|B)中,事件A,B的发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.,-30-,考向一,考向二,考向三,对点训练 4某市环保知识竞赛由
13、甲、乙两支代表队进行总决赛,每队各有3名队员,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或者不答都得0分.已知甲队3人答对的概率分别为 ,乙队每人答对的概率都是 ,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用表示甲队总得分. (1)求随机变量的分布列及其数学期望E(); (2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.,-31-,考向一,考向二,考向三,-32-,考向一,考向二,考向三,-33-,考向一,考向二,考向三,题型4 二项分布 例5(2018全国卷1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合
14、格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,
15、-34-,考向一,考向二,考向三,令f(p)=0,得p=0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0; 当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.,-35-,考向一,考向二,考向三,解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.,-36-,考向一,考向二,考向三,对点训练 5(2018宁夏银川一中一模,理18)人们常说的“幸福感指数
16、”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间0,10内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.为了解某地区居民的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查,调查数据如表所示:,-37-,考向一,考向二,考向三,(1)在图中绘出频率分布直方图(说明:将各个小矩形纵坐标标注在相应小矩形边的最上面),并估算该地区居民幸福感指数的平均值;(2)若居民幸福感指数不小于6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度,调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查,用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数,求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)
17、.,-38-,考向一,考向二,考向三,解: (1)频率分布直方图如图所示.所求的平均值为0.0121+0.01523+0.225+0.1527+0.12529=6.46.,-39-,考向一,考向二,考向三,-40-,考向一,考向二,考向三,样本的均值、方差与正态分布的综合 例6为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望; (
18、2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. 试说明上述监控生产过程方法的合理性; 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:,-41-,考向一,考向二,考向三,-42-,考向一,考向二,考向三,-43-,考向一,考向二,考向三,解: (1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 3,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3. X的数学期望为E(X)=1
19、60.002 7=0.043 2. (2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.,-44-,考向一,考向二,考向三,-45-,考向一,考向二,考向三,解题心得解决正态分布有关的问题,在理解,2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.,-46-,考向一,考向
20、二,考向三,对点训练 6(2018湖南衡阳二模,理19)某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84). (1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据; (2)如果钢管的直径X满足60.6 mm69.4 mm为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望. (参考数据:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6;P(-2X+2)=0.954 4;P(-3X+3)=0.997 4.),-47-,考向一,考向二,考向三,-48-,考向一,考向二,考向三,
