1、2.2 函数的零点与方程专项练,-2-,1.零点的定义:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根. 3.函数的零点与方程根的关系:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. 4.判断函数零点个数的方法: (1)直接求零点; (2)零点存在性定理; (3)数形结合
2、法.,-3-,5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法: (1)利用零点存在性定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解. (4)方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.,-4-,一、选择题(共12小题,满分60分) 1.由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(kZ),则k的值为( ),A.1 B.2 C.3 D.4,C,解析 当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1, f(
3、4)=-0.61,f(5)=-1.39, f(3)f(4)0,函数的零点在区间(3,4)内, k=3,故选C.,-5-,2.函数f(x)=-|x|- +3的零点所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),B,3.若关于x的方程4sin2x-msin x+1=0在(0,)内有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是( ) A.x|x-4 C.x|x5 D.x|x54,D,-6-,4.已知函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( ) A.(-,-3)(1,+) B.(-,-3) C.(-3,1) D.(1,+),A
4、,解析 函数f(x)=2ax-a+3,由x0(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)0,解得a(-,-3)(1,+).,5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac,A,解析 由f(a)=ea+a=0,得a=-ea0;b是函数y=ln x和y=-x图象交点的横坐标,画图(图略)可知0b1;由h(c)=ln c-1=0知c=e,所以abc.,-7-,6.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0(n,n+1)(nZ),其中常数a,b满足0b1a,则n的值为( ) A.
5、2 B.1 C.-2 D.-1,D,解析 由题意得函数f(x)=ax+x-b为增函数,常数a,b满足00,所以函数f(x)=ax+x-b在(-1,0)内有一个零点,故n=-1.,-8-,A.4n B.2n C.n D.0,B,-9-,g(x)的图象也关于点(2,0)对称,即有f(x)与g(x)的交点关于点(2,0)对称,-10-,8.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( ),C,解析 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1 =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+
6、ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴. f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为1, 即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0, 解得a= .,-11-,9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x0,1时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(x)|-f(x)在区间 上的所有零点的和是( ) A.2 B.3 C.-2 D.4,B,解析 因为f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2-x),所以f(x)的周期为2.画出y=f(x)和y=
7、|cos(x)|的图象, 由图可知,g(x)共有5个零点, 其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2. 所以所有零点的和为3.,-12-,D,解析 对任意xR,都有f(x-2)=f(x+2), f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2-2)=f(x), f(x)是定义在R上的周期为4的函数; 作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下,-13-,11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0),若方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则m的取值范围为( ) A.(-e2+2e+1,+) B.(-,-e2+2e+1) C.(-e2+1,2e) D.(2e-
8、1,e2+1),A,解析 若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即函数y=g(x)与y=f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)= (x0)的大致图象.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2, 其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是(-e2+2e+1,+).,-14-,A,-15-,二、填空题(共4小题,满分20分) 13.(2018江苏,11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)
9、内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 .,-3,-16-,14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(0,+)时,f(x)= 2 017x+log2 017x,则f(x)在R上的零点的个数为 .,3,-17-,15.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是 .,(1,2,解析 函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点, g(x)在m,+)上有一个零点, 在(-,m)上有两个零点,-18-,16.已知函数f(x)=ex-e-x,下列命题正确的有 .(写出所有正确命题的编号) f(x)是奇函数; f(x)在R上是单调递增函数; 方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根; 如果对任意x(0,+),都有f(x)kx,那么k的最大值为2.,
