1、1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.多面体的有关概念 (1)多面体是由 所围成的几何体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的 , 叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的 ,连接 叫做多面体的对角线.,若干个平面多边形,面,相邻的两个面的公共边,顶点,不在同一个面上的两个顶点的线段,(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体叫做 .多面体至少有 个面.多面体按照分别叫做四面体、五面体、六面体. (3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫
2、做这个几何体的 . 2.棱柱 棱柱的主要结构特征:有两个面 ;其余每相邻两个面的交线都 .棱柱的 叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的叫做棱柱的侧棱, 叫做棱柱的高.棱柱按底面多边形边数分为 等,侧棱与底面 的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是 的直棱柱叫做正棱柱;底面是 的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体, 的长方体是正方体.,凸多面体,4,围成它的面的个数,截面,互相平行,互相平行,两个互相平行的面,公共边,两底面之间的距离,三棱柱、四棱柱,不垂直,正多边形,平行四边形,棱长都相等,3.棱锥 (
3、1)棱锥的主要结构特征:有一个面是 ;其余各面都是有的三角形;棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面; 叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱; 叫做棱锥的底面; 叫做棱锥的高. (2)棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等.如果棱锥的底面是,且它的顶点在过底面中心且与底面 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是 ; .叫做棱锥的斜高.,多边形,一个公共顶点,各侧面的公共顶点,多边形,顶点到底面的距离,正多边形,垂直,全等的等腰三角形,等腰三,角形底边上的高,4.棱台 (1)棱锥被 的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台. . 分别叫做棱台的下底面、上底面;其他各面叫
4、做棱台的侧面; 叫做棱台的侧棱;两底面间的距离叫做棱台的高.,平行于底面,原棱锥,的底面与截面,相邻两侧面的公共边,(2)由 截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是 ,这些等腰梯形的高叫做棱台的 .,正棱锥,全等的等腰梯形,斜高,【拓展延伸】 1.棱柱的结构特征 棱柱有两个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面每相邻两面的公共边都互相平行.这两个特征保证了棱柱的底面全等,侧棱互相平行,二者缺一不可.若说有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱,则是错误的说法.如图,此几何体就不是棱柱.,2.棱锥的结构特征 棱锥是多面体中较重要的一种,它有两个本质特征:(1)有一个面是多
5、边形;(2)其余的各面是有一个公共顶点的三角形.二者缺一不可.因此要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥,如图,此多面体有一面是四边形,其余各面都是三角形,但它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面,所以三棱锥也叫四面体. 正棱锥是一种特殊棱锥,判断一棱锥是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是底面水平放置时,它的顶点与底面正多边形的中心都在铅垂线上.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.,3.棱台 棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的,因此判断一个几何体是否为棱台,关键是看侧棱延长后能否交于一点.另外,棱台的上下底面是相似的多边形,因此就产生了一系列的比例问题,是考查
6、的重点内容.,诠释:正棱锥具有如下性质:各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等.棱锥的高、斜高和斜足与底面中心的连线组成一个直角三角形;棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形.,自我检测,1.下列命题中正确的是( ) (A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 (C)一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 (D)棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等,C,解析:根据棱柱的概念性质可知.,2.下列说法中正确的是( ) (A)由五个面围成的多面体只能是四棱锥 (B)棱锥的高线可能在几何体之
7、外 (C)仅有一组对面平行的六面体是棱台 (D)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥,B,解析:对A,五面体也可能是三棱柱;对C,仅有一组对面平行的六面体也可能是四棱柱,对D,棱锥的定义中其余各面都有一个公共顶点;故B正确,选B.,类型一,多面体的概念,课堂探究素养提升,【例1】 (1)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为四边形,则此几何体为棱柱”是否正确? (2)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为梯形,则此几何体为棱台”是否正确?,解:(1)不正确,其余各面为四边形,不能反映出夹在两平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行.(2)不正确,棱台是由平行于棱锥底面的平面所截
8、,即如果是棱台,则各侧棱延长必交于一点,此命题不能反映出侧棱延长后交于一点.如图满足命题条件,但不是棱台.,方法技巧 棱柱是多面体中最简单的一种,对棱柱的概念应正确理解,准确把握,它有两个本质特征:有两个面(底面)互相平行;其余各面(侧面)中每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱.,变式训练1-1:下面四个几何体中,是棱台的为( ),解析:棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得而成,故棱台具有(1)侧棱延长后交于一点.(2)有两个互相平行的底面.(3)侧面均为梯形.由以上
9、分析可知选C.,类型二,棱柱、棱锥、棱台的概念及其结构特征,【例2】 一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) (A)底面是正方形,有两个侧面是矩形 (B)底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 (C)底面是菱形,且有一个顶点处的两条棱互相垂直 (D)底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形,解析:对于A,满足了底面是正方形,但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形.对于B,垂直于底面的侧面中不是所有直线都垂直于底面,因此,不能保证侧棱垂直于底面.对于C,底面是菱形但不一定是正方形,同时侧棱也不一定和底面垂直.对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱
10、柱的定义和基本特征.故选D.,方法技巧 判断正棱柱,要严格按照定义及它们的基本特征去分析,正棱柱的基本特征是:(1)底面是正多边形;(2)侧棱与底面垂直.,变式训练2-1:下列结论中正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等;有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;底面是正三角形,其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥.正确结论的序号是 .,解析:正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心,也是三角形的外心,是各边中垂线的交点,满足到各顶点的距离相等,故正确. 如图1在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面AA1D1D,面BB1C1C 为矩
11、形,但不满足侧棱与底面垂直,故错误.,根据棱台的定义可知,棱台各侧棱的延长线交于一 点,而不能保证各侧棱的延长线交于一点,故错误. 如图2的三棱锥P-ABC中,ABC为正三角形,PA=PB=AB=BC=ACPC,此三棱锥满足中的条件,但显然不是正三棱锥,故错误.,答案:,类型三,棱柱、棱锥、棱台中的有关计算,【例3】 如图,正四棱台AC的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.,方法技巧 解决此类与正棱台有关的基本量(如侧棱、斜高、高等)计算,常有如下两种策略: (1)充分利用正棱台中的3个直角梯形化成平面图形处理,即: 斜高、上下底的边心距以及上下底
12、中心的连线组成的直角梯形. 侧棱、两底面相应的外接圆半径和两底面中心连线组成的直角梯形. 斜高、侧棱和上下两底面相应边的一半组成的直角梯形. (2)棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得到的,所以可以还台于锥来解决有关棱台的问题,即“补形”的思想.问题可转化为棱锥中的直角三角形处理.,变式训练3-1:已知一个正三棱锥的高为h,侧棱长为l,求这个正三棱锥的底面边长和斜高.,类型四,多面体的截面图与展开图,【例4】 如图所示,正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,ASB=30,M,N为棱SB和SC上的点,求AMN的周长的最小值.,思路点拨:将侧面展开化归为平面几何问题.将正三棱锥沿侧棱SA剪开,然后将其侧面展开在一个平面上,如图所示.连接AA,设AA交SB于M,交SC于N.显然AMN的周长l=AM+MN+NAAA,也就是说当AM、MN、NA(NA)在一条直线上时,对应的截面三角形周长最短,则AA的长就是截面AMN周长的最小值.,方法技巧 求几何体表面上两点之间的最短距离可通过将几何体表面展开为平面图形,利用平面上两点间距离来求解,但应注意展开的方法和技巧.,变式训练4-1:如图,直三棱柱ABB1-DCC1中,ABB1=90,AB=4,BC=2,CC1=1, DC上有一动点P,则APC1周长的最小值是 .,谢谢观赏！,
