1、第二课时 两条直线垂直的条件,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.已知两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线垂直的条件是: ,反之若满足A1A2+B1B2=0,则 . 2.已知两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则两条直线垂直的条件是:,反之若两条直线都存在斜率,分别为k1,k2,且k1k2=-1,则两直线 . 3.若两条直线,一条斜率存在且为0,另一条斜率 ,则两直线互相垂直.,A1A2+B1B2=0,两条直线垂直,k1k2=-1,互相垂直,不存在,【拓展延伸】 对称问题 1.点关于点的对称点 点P(
2、x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0),可利用中点坐标公式求解. 2.点关于直线的对称点 (1)设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(A0,B0),若P关于l的对称点Q的坐标为(x,y),则l是PQ的垂直平分线,即PQl;PQ的中点在l上,解方程组可得Q点的坐标.,(2)点A(x,y)关于直线x+y+c=0的对称点A的坐标为(-y-c,-x-c),关于直线x-y+c=0的对称点A的坐标为(y-c,x+c).曲线f(x,y)=0关于直线x+y+ c=0的对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0,关于直线x-y+c=0的对称曲线为f(y-c, x+c)=0. 以上
3、方法可在快速解填空题、选择题时运用,应加以理解并记忆. 常见的结论有: A(a,b)关于x轴的对称点为A(a,-b); B(a,b)关于y轴的对称点为B(-a,b); C(a,b)关于直线y=x的对称点为C(b,a); D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D(-b,-a); P(a,b)关于直线x=m的对称点为P(2m-a,b); Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q(a,2n-b).,3.直线关于点的对称直线 方法一:利用中点坐标公式可求得点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点P(2a-x0,2b-y0).求一条直线关于点A(a,b)的对称直线的方程时可在该直线上取某两个特殊点,再
4、求它们关于点A的对称点的坐标,然后利用两点式求其对称直线的方程. 方法二:直线l的方程Ax+By+C=0关于点(a,b)对称的直线方程为A(2a-x)+ B(2b-y)+C=0,即Ax+By-C-(2aA+2bB)=0.,4.直线关于直线的对称直线 常见的对称结论有:设直线l:Ax+By+C=0, l关于x轴对称的直线方程是:Ax+B(-y)+C=0; l关于y轴对称的直线方程是:A(-x)+By+C=0; l关于原点对称的直线方程是:A(-x)+B(-y)+C=0; l关于直线y=x对称的直线方程是:Bx+Ay+C=0; l关于直线y=-x对称的直线方程是:B(-x)+A(-y)+C=0.,
5、自我检测,1.在平面直角坐标系中,直线l1:x-ay+1=0和直线l2:ax+y+10=0的位置关系是( ) (A)平行 (B)重合 (C)垂直 (D)无法判断,C,解析:易知两条直线满足条件:1a+(-a)1=0,故两直线l1与l2垂直.,C,B,4.由三条直线2x-y+2=0,x-3y-3=0和6x+2y+5=0围成的三角形是 三角形.,答案:直角,类型一,利用垂直关系求参数,课堂探究素养提升,【例1】 已知直线l1:ax+3y=3,l2:x+2ay=5,若l1l2求a的值.,解:直线l1:ax+3y-3=0,直线l2:x+2ay-5=0, 因为l1l2,所以a1+3(2a)=0,即a=0
6、.,方法技巧 如果本题用k1k2=-1的方法求解,则要先讨论k1、k2不存在时是否l1l2,否则易漏解.,变式训练1-1:直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y= 2互相垂直,求a的值.,类型二,利用垂直关系求直线方程,【例2】 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.,法三 设过l1与l2交点的直线l的方程为 x-2y+4+(x+y-2)=0, 即:(1+)x+(-2)y+4-2=0. 又l与l3互相垂直,所以(1+)3+(-2)(-4)=0, 解得:=11,代入得:4x+3y-6=0
7、.,方法技巧 (1)利用与l垂直的直线方程,设出直线l的方程形式,再利用已知条件确定方程中的参数,可求直线方程.(2)利用两已知直线交点的直线系方程,先设方程再用垂直求出参数.,变式训练2-1:已知直线l1:x+y+2=0,直线l2在y轴上的截距为-1,且l1l2. (1)求直线l1与l2的交点坐标;,(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴的截距是在x轴的截距的3倍,求l3的方程.,类型三,对称问题,【例3】 已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;,(2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;,(3)直线l关于点A(1,1
8、)对称的直线方程.,解:(3)法一 取l:x+2y-2=0上一点M(2,0),则M关于点A(1,1)的对称点M,坐标为(0,2),且M在l关于A(1,1)对称的直线上, 又所求直线与l平行, 所以设所求直线为x+2y+C=0. 又过点M(0,2), 所以C=-4, 所以所求直线方程为x+2y-4=0.,方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指:两对称点连成线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.,变式训练3-1:已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使AMN的周长最短,并求出最短周长.,类型四,综合应用问题,【例4】 已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).,方法技巧 在平面解析几何中,用代数知识解决几何问题时应首先挖掘几何图形的几何条件,把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.,谢谢观赏！,
