1、2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.圆的轨迹 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合,定点为 ,定长是圆的 . 2.圆的标准方程 若圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r,则圆的标准方程为 ;特别地,如果圆心在坐标原点,圆的标准方程就是 .,圆心,半径,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2=r2,3.点与圆的位置关系的判定方法 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为A(a,b),半径为r,若点M(x0, y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2 r2;若点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)
2、2+(y0-b)2 r2;若点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2 r2.反之也成立.,=,【拓展延伸】 圆的标准方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.其中圆心为(a,b),半径为r.特别地,当a=b=0时,它表示圆心在原点的圆x2+y2=r2.根据圆的标准方程能够直接写出圆心坐标和半径,这一点体现了圆的标准方程的特点. (2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参量a,b,r,只要求出a,b,r就可以求出圆的标准方程,因此确定圆的方程需三个独立条件,通过三个独立条件列出三个方程,从而求出a,b,r.故确定圆的标准方程的主要方法为待定
3、系数法,也可以根据圆的特点直接求出圆心坐标和半径,从而确定圆的标准方程,即利用圆的性质,利用几何法来求解.,自我检测,1.以原点为圆心,4为半径的圆的方程是( ) (A)x2+y2=4 (B)x2+y2=16 (C)x2+y2=2 (D)(x-4)2+(y-4)2=16,B,解析:由圆的标准方程得x2+y2=42, 即x2+y2=16,故选B.,2.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( ) (A)是圆心 (B)在圆C外 (C)在圆C内 (D)在圆C上,C,解析:由于(3-2)2+(2-3)2=24,则点P在圆C内,故选C.,3.以(0,0),(2,4)为直径的两个端点的
4、圆的方程是( ) (A)x2+y2=20 (B)(x-2)2+(y-4)2=5 (C)(x-1)2+(y-2)2=20 (D)(x-1)2+(y-2)2=5,D,4.圆(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的标准方程为 .,解析:已知圆的圆心O1为(-3,4), 则O1(-3,4)关于y=-x的对称点为O2(-4,3), 所以所求圆的圆心为O2(-4,3),半径为1. 方程为(x+4)2+(y-3)2=1. 答案:(x+4)2+(y-3)2=1,类型一,圆的标准方程,课堂探究素养提升,【例1】 已知圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上.求此圆的标准 方程.,方法
5、技巧 求圆的标准方程的方法一般有两种: (1)待定系数法(代数法).首先设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再根据题设条件列出关于a,b,r的方程(组),然后解方程(组)求得a,b,r的值,即可确定圆的标准方程. (2)几何法,即利用圆的几何性质(如弦的中垂线过圆心)来直接求得圆心坐标及半径.几何法体现了数形结合的思想,思路简洁明了,具有一定的技 巧性.,变式训练1-1:已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1l2. (1)分别求直线l1,l2的方程;,(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求ABC外接圆的方程.,类型二,点与圆的位置关系,【例
6、2】 已知两点M(3,8)和N(5,2). (1)求以MN为直径的圆C的方程;,(2)试判断P1(2,8),P2(3,2),P3(6,7)是在圆上,在圆内,还是在圆外?,方法技巧 法一是求圆的标准方程的常用方法;法二是利用圆上任一点满足的几何特性,这是求任意轨迹方程的方法,更具有一般性.,变式训练2-1:已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a0). (1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值; (2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围.,类型三,与圆有关的最值,【例3】 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3. (1)求y-x的最大值和最小值;,(2)求x2+y2的最大值和最小值;,方法技巧,变式训练3-1:已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=PA2+PB2,求d的最大值及最小值.,谢谢观赏！,
