1、考点一 直线的倾斜角、斜率和方程 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我 们规定它的倾斜角为0. (2)直线的倾斜角的取值范围为 0180 . 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小 写字母k表示,即k=tan ,倾斜角是90的直线斜率不存在. (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为k=,知识清单,. 3.直线方程的五种形式,考点二 点与直线、直线与直线的位置
2、关系 1.两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1l2k1=k2.特别 地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行. 2.两条直线垂直 如果两条直线l1、l2的斜率存在,分别设为k1、k2,则l1l2 k1k2=-1 . 3.判断两条直线是否相交 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组: 是否有唯一解.,4.两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式: |P1P2|= . 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= . 5.点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:A
3、x+By+C=0的距离d= . 6.两条平行线间的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1C2)间的距离d= .,1.斜率k是一个实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线 都存在斜率.倾斜角为90的直线斜率不存在. 2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan 的单调 性,当 且由0增大到 时,k由0增大趋近于+;当时,k也是关于的单调函数,当在此区间内由 增大到( )时,k由-趋近于0(k0),当然解决此类问题时,也可采用数形结合 思想,借助图形直观地作出判断.,求直线的斜率及倾斜角的范围的方法,方法技巧,例1 (2017江西赣州期末,7)
4、已知点(1,-2)和 在直线l:ax-y-1=0(a 0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是 ( D ) A. B. C. D. ,解题导引,解析 设直线l的倾斜角为,且0,),点A(1,-2),B . 直线l:ax-y-1=0(a0)经过定点P(0,-1). kPA= =-1,kPB= = . 点(1,-2)和 在直线l:ax-y-1=0(a0)的两侧, kPAakPB,-1tan ,tan 0. 解得0 , .故选D.,两个相互独立的条件确定一条直线,因此,求直线方程时,首先,分析是否 具备两个相互独立的条件;其次,恰当地选用直线方程的形式,准确地写 出直线方程,要注意若不能断定直线斜率
5、是否存在,应加以讨论. 求直线方程的一般方法:(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线 方程,直接求出方程中的系数,写出直线方程. (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代 入求出直线方程. 另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长, 则应选用截距式.,确定直线方程的方法,例2 过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得 的线段恰好被M平分,求此直线方程.,解题导引,解析 解法一:过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点 分别是 和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件
6、.故可设所求直 线方程为y=kx+1,它与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点. 由解得xA= , 由解得xB= , 点M平分线段AB,xA+xB=2xM,即 + =0.,解得k=- ,故所求直线方程为y=- x+1,即x+4y-4=0. 解法二:设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点. 点B在直线l2:2x+y-8=0上, 设B(t,8-2t).又M(0,1)是线段AB的中点, 由中点坐标公式得A(-t,2t-6). 点A在直线l1:x-3y+10=0上, (-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.B(4,0),A(-4,2), 故所求直线方程为 = ,即x+4y-4=0.
7、,评析 (1)解答时围绕题设中两个独立条件建立关系:一是“直线过点M (0,1)”,二是“截得的线段恰好被M平分”; (2)解法二是对条件作巧妙的转化,即交点A、B的坐标分别适合l1、l2的 方程,并且M平分线段AB,可设B点坐标,依条件建立关系式求解; (3)对直线问题,要特别注意斜率不存在的情况; (4)求直线方程常用方法待定系数法,待定系数法就是根据所求的 具体直线设出方程,然后按照它们满足的条件求出参数.,1.一般地,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 k1k2l1与l2相交. k1=k2且b1b2l1与l2平行. k1=k2且b1=b2l1与l2重合. k1k2
8、=-1l1与l2垂直. 注意:斜率存在是利用斜率判断两直线平行、相交、垂直的先决条件. 若两直线的斜率不存在,则两直线平行或重合;若两直线中只有一条斜 率存在,则两直线相交(特别地,若斜率存在且为0,则两直线垂直). 2.一般地,若l1:A1x+B1y+C1=0(A1、B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2、B2不全 为0),则,两直线平行与垂直问题的解决策略,l1与l2相交A1B2-A2B10. l1与l2平行 或 l1与l2重合A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0. l1与l2垂直A1A2+B1B2=0.,注意:当A2B2C20时,一般用 来判断相交
9、;用 = 来判断 平行;用 = = 来判断重合.当然,这些比例关系不是判断两直线相 交、平行、重合的充要条件.,例3 (2017湖南东部十校联考,14)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0 的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 .,解题导引,解析 解法一:由方程组 解得 即交点为 , 所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 所求直线的斜率为k= . 由点斜式得所求直线方程为y- = , 即4x-3y+9=0. 解法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0, 由方程组 可解得交点为 , 代入4x-3y+m=0得m=9,故所求直线方程为4x-3y+9=0. 解
10、法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0,即(2+)x +(3-3)y+1+4=0, 又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 所以3(2+)+4(3-3)=0, 所以=2,代入式得所求直线方程为4x-3y+9=0.,答案 4x-3y+9=0,1.用点到直线的距离公式时,直线方程必须化为一般式,还要注意公式中 的分子含有绝对值符号,分母含有根号. 2.求两平行线间的距离时,可转化为其中一条直线上的点到另一条直线 的距离,也可以代入公式求解,但此时必须先将两直线方程转化为一般 形式且x、y的系数分别对应相等. 3.点到几种特殊直线的距离,可直接求出: 点P(x
11、0,y0)到x轴的距离d=|y0|; 点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; 点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; 点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.,求距离的方法,例4 (2017豫北重点中学4月联考,14)已知直线l在两坐标轴上的截距相 等,且点A(1,3)到直线l的距离为 ,则直线l的方程为 .,解析 当直线过原点时,设直线方程为y=kx,由点A(1,3)到直线l的距离为 ,得 = ,解得k=-7或k=1,此时直线l的方程为y=-7x或y=x;当直 线不过原点时,设直线方程为x+y=a,由点A(1,3)到直线l的距离为
12、,得= ,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上所 述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0.,答案 y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0,1.中心对称 (1)点关于点的对称 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称 直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标 公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程, 或者求出一个对称点,再利用l1l2,由点斜式得到所求直线的方程. 2.轴对称 (1)点关于直线的对称,关于对称问题的
13、求解策略,若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点 在对称轴l上,而且 P1P2所在的直线垂直于对称轴l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2). (2)直线关于直线的对称 若已知直线l1与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线l2上,再求出l1上 除交点外任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2,那么经过交点及点P2 的直线就是l2;若已知直线l1与对称轴l平行,则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l1的对称直线.,例5 (2017山西四校联考,13)若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与 点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .,解析 由题可知纸的折痕垂直平分点(0,2)与点(4,0)的连线,可得折痕所 在直线为y=2x-3,又折痕也垂直平分点(7,3)与点(m,n)的连线,于是 解得 m+n= .,答案,
