1、第九章 平面解析几何,高考文数,考点一 直线的倾斜角、斜率与方程1.直线的倾斜角 (1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正向 与直线l 向上的方向 所成的角即为直线l的倾斜角; (2)当直线l与x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0 ; (3)直线倾斜角的范围为 0,) . 2.直线的斜率 (1)若直线的倾斜角不是90,则斜率k= tan ; (2)若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则斜率k= ; (3)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.,9.1 直线方程与圆的方程,知识清单,3.直线方程的几种形式,考点二 圆的方程1.圆的定义 平面内到定点的距离等于
2、定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点就是圆心, 定长就是半径. 2.圆的标准方程 圆心为(a,b),半径为r的圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 . 3.圆的一般方程 已知二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*) (1)当 D2+E2-4F0 时,(*)表示圆的方程,圆心为 ,半径为 .此时,(*)叫圆的一般方程. (2)当 D2+E2-4F=0 时,(*)表示点.,(3)当 D2+E2-4F0 时,(*)不表示任何图形. (4)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程 突出了方程形式的特点: (i)x2和y2的系数相等且不为0; (ii)没有xy这样的二次
3、项. (5)A=C0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 必要不充分 条件. 4.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的 方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),不表示圆C2. 5.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,求解直线的斜率及倾斜角范围的方法 1.求斜率的常用方法 (1)已知直线上两点时,由斜率公式k= (x1x2)来求斜率. (2)已知倾斜角或的三
4、角函数值时,由k=tan 来求斜率.此类问 题经常与三角函数知识结合在一起,要注意三角函数公式的灵活运用. (3)直线Ax+By+C=0(B0)的斜率为k=- . 2.求倾斜角的取值范围的一般步骤,方法技巧,例1 (2018广东五校9月调研,7)已知点A(2,0),点B(-2,0),直线l:(+3)x+(- 1)y-4=0(R),若直线l与线段AB有公共点,则的取值范围是 ( B ) A.-1,1)(1,3 B.-1,3 C.(-1,1)(1,3) D.-1,3),解题导引 求出直线l所过定点P的坐标 求PA、PB的斜率 分析l的位置变 化与斜率的变化情况 结论,解析 (+3)x+(-1)y-
5、4=0即(x+y-4)+(3x-y)=0. R, 解得 直线l过定点P(1,3). 又点A(2,0),点B(-2,0), kPA= =-3,kPB= =1. 当=1时,直线l:x=1,与线段AB有公共点. 当1时,直线l的斜率k= , 直线l与线段AB有公共点. 1或 -3. -11或13.,综上所述,的取值范围为-1,3,故选B.,例2 (2016豫西五校2月联考,13)曲线y=x3-x+5上各点处的切线的倾斜 角的取值范围为 .,解析 设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0,),因为y=3x2-1 -1,所以tan -1, 结合正切函数的图象可知,的取值范围为 .,答案 ,求直线方程的方法
6、 点的坐标确定直线的位置,斜率确定直线的方向,也就是说,要确定直线 的方程,只需找到两个点的坐标,或一个点的坐标与过该点的直线的斜 率即可.因此确定直线方程的常用方法有两种:(1)直接法:根据已知条件, 确定适当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定系数法:先设出直 线方程,再根据已知条件求出待定的系数,最后代入求出直线的方程. 例3 (2017湖南东部十校联考,14)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0 的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 .,解析 解法一:由方程组 解得 故交点坐标为 , 所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 所求直线的斜率k= . 由
7、点斜式得所求直线方程为y- = , 即4x-3y+9=0. 解法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0, 由方程组 可解得交点坐标为 ,代入4x-3y+m=0得m=9, 故所求直线方程为4x-3y+9=0. 解法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0, 即(2+)x+(3-3)y+1+4=0, 因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 所以3(2+)+4(3-3)=0, 所以=2,代入式得所求直线方程为4x-3y+9=0.,答案 4x-3y+9=0,求圆的方程的方法 1.方程选择的原则:求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半 径或需要用圆心
8、坐标、半径列方程,常选用标准方程;如果已知条件和 圆心坐标、半径无直接关系,而与经过的点有直接关系,常选用一般方 程. 2.求圆的方程的方法和步骤:确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大 致步骤如下:根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);根据 条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;解出a,b,r或D,E,F,代入所选的方 程中即可. 3.利用几何法求圆的方程时常用的几何性质有:圆心在过切点且与切 线垂直的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心在一条直线上.,例4 (2017广东七校联考,14)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且 在直线y=
9、x上截得的弦长为2 ,则该圆的方程为 .,解析 解法一:所求圆的圆心在直线x-3y=0上, 设所求圆的圆心为(3a,a), 所求圆与y轴相切,半径r=3|a|, 又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2 ,圆心(3a,a)到直线y=x的距离 d= , d2+( )2=r2,即2a2+7=9a2,a=1. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离 为 , r2= +7,即2r2=(a-b)2+14.,所求圆与y轴相切,r2=a2. 又所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
10、a-3b=0, 联立,解得 或 故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=9或(x-3)2+(y-1)2=9. 解法三:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为 ,半径r= . 在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0. 所求圆与y轴相切,=0,则E2=4F. 圆心 到直线y=x的距离为d= ,由已知得d2+( )2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F). 又圆心 在直线x-3y=0上,D-3E=0. 联立,解得 或 故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.,答案 x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x
11、+2y+1=0,对称问题的处理方法 对称包括中心对称和轴对称两种情况.点关于点的对称是中心对称中最 基本的一类问题,处理这类问题要抓住已知点与对称点所连线段的中点 为对称中心;点关于直线对称是轴对称中最基本的一类问题,处理这类 问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直,二是以已 知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上. 例5 (2016山西太原五中月考,13)与直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l的方程为 .,解题导引 解法一:在直线l上任取一点(x,y) 求与其关于P(2,-1) 对称的点的坐标 由该点在直线3x-y-4=0上可得结论 解法二:利用平行直线系设出直线l的方程 点P到两直线距离相等列方程求参数 结论,解析 解法一:设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y) 在直线3x-y-4=0上, 3(4-x)-(-2-y)-4=0,即3x-y-10=0, 所求直线l的方程为3x-y-10=0. 解法二:由于直线l与直线3x-y-4=0平行,故设直线l的方程为3x-y+b=0(b-4), 则由点P到两直线的距离相等,得 = ,解得b=-10或b=-4(舍去), 所求直线l的方程为3x-y-10=0.,答案 3x-y-10=0,
