1、第九章 平面解析几何,高考文数,9.3 椭圆及其性质,知识清单,考点一 椭圆及其性质,考点二 直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程 + =1(ab0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+ Bx+C=0(A0)的形式,则:,2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 |AB|= = = = (k为直线斜率,k0). 3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1、F2构成的PF1F2称作焦 点三角形.设F1PF2=. (1)|PF1|+|PF2|=2a; (2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|P
2、F1|PF2|cos ;,(3) = |PF1|PF2|sin = b2=b2tan =c|y0|. 其中当|y0|=b,即P为短轴端点时,PF1F2的面积最大,最大面积是bc. 拓展延伸 1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径,|AB|= .2.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值.,3.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB 的斜率之积为定值- .,求椭圆标准方程的方法 1.定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位 置写出椭圆的标准方程. 2.待定系数法:根据椭圆焦点的位置设出相应形式的
3、标准方程,然后根据 条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出椭圆的标准方程. 3.当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为 + =1(m0, n0,mn),也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB). 例1 (1)(2017河南部分重点中学联考,11)如图,已知椭圆C的中心为原 点O,F(-2 ,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭 圆C的方程为 ( C ),方法技巧,A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 (2)(2017湖北武汉调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上, P(2, )是椭圆上一
4、点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为 .,解题导引 (1)设椭圆的右焦点为F 在PFO中,利用余弦 定理得cosPOF的值 在POF中,得 |PF|=8 由椭圆定义得a=6 得b2,求出 椭圆方程 (2)设出所求椭圆方程 根据已知条件列出关于 a,b,c的方程组 解方程组得a,b,c 得椭圆方程,解析 (1)设F为椭圆的右焦点,连接PF,在POF中,由余弦定理,得 cosPOF= = ,则|PF|=8,由椭圆定义,知2a=4+8=1 2,所以a=6,又c=2 ,所以b2=16.故椭圆C的方程为 + =1. (2)椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上, 可设椭圆
5、方程为 + =1(ab0), P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列, 又a2=b2+c2, a=2 ,b= ,c= ,椭圆方程为 + =1.,答案 (2) + =1,求椭圆的离心率(范围)的方法 1.求解椭圆离心率常用的方法:若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点 位置确定a2,b2,求出a,c的值,从而利用公式e= 直接求解;若椭圆的方 程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的等式,化为关于a,c的齐 次方程,进而转化为关于e的方程进行求解,最后注意e的取值范围. 2.求椭圆离心率的取值范围与求离心率类似,也是根据几何图形建立关 于a,c的齐次不等式
6、进行求解.,解析 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|= 2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得 ,即b1.所以e2= = = ,又0e1,所以e,故选A.,例3 (2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + = 1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭 圆的离心率是 .,解题导引 由题中条件求得 点B,C的坐标 由 =0得出关于 a,b,c的方程 利用b2=a2-c2建立关于 a,c的方程 由e= 转化为关于e的方程 得e的值,解析 由已
7、知条件易得B ,C , F(c,0), = , = , 由BFC=90,可得 =0, 所以 + =0, c2- a2+ b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0, 亦即3c2=2a2, 所以 = ,则e= = .,答案,与直线和椭圆的位置关系有关问题的求解方法 1.直线与椭圆位置关系的判断方法:直线方程与椭圆方程联立,消元后得 到一元二次方程,然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相 离. 2.当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不 求,利用弦长公式|AB|= (k为直线的斜率)计算弦 长;涉及求平行弦中点的轨迹,求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平 分的弦所
8、在的直线方程问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐 标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.其中判别 式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据.,解题导引 (1)列关于a,b,c的方程 求a与b 得椭圆方程 (2),解析 (1)由题意可知a2+b2=5, 又e= = ,a2=b2+c2, 所以a= ,b= ,所以椭圆C的方程为 + =1. (2)若直线l的斜率不存在,此时M为原点,满足QMAB,所以,直线l的方 程为x=0. 若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程与椭圆方程联立可得 即(2+3k2)x2+12kx+6=0,则x1+x2= ,由题意可知=72k2-480,即k 或k- . 设M(x0,y0),则x0= ,y0=k +2= , 由QMAB可知 k=-1,化简得3k2+5k+2=0, 解得k=-1或k=- (舍), 此时,直线l的方程为x+y-2=0. 综上所述,直线l的方程为x=0或x+y-2=0.,
