1、考点一 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断直线与圆的 位置关系常见的有两种方法. (1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去x或y整理成一元 二次方程后,判别式=b2-4ac (2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断: dr直线与圆 相离 .,知识清单,2.圆的切线方程 (1)若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切 的切线方程为x0x+y0y=r2. 注:点P必须在圆x2+y2=r2上. 经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(
2、x-a)+(y0-b)(y-b) =r2. (2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引圆的切线,切点为T,求切线l的 方程的方法是待定系数法,先验证直线x=x0是否为切线,若不是,再设l:y- y0=k(x-x0),利用d=r求出k的值,切线长公式为|MT|= . 3.直线与圆相交 直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+ ,即l=,2 ,求弦长或已知弦长求其他量时,一般用此公式.,考点二 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、 内含 . 2.判断圆与圆的位置关系的常用方法 (1)几何法:设两圆圆心分别为O1,
3、O2,半径为r1,r2(r1r2),则|O1O2|r1+r2外 离;|O1O2|=r1+r2外切;|r1-r2|O1O2|r1+r2相交;|O1O2|=|r1-r2|内切;|O1O2 |r1-r2|内含. (2)代数法: 方程组 有两组不同的实数解两圆相交;,有两组相同的实数解两圆相切; 无实数解两圆外离或内含. (3)公切线条数 外离两圆有4条公切线;外切两圆有3条公切线; 相交两圆有2条公切线;内切两圆有1条公切线; 内含两圆有0条公切线.,1.代数法:将直线方程与圆的方程联立,由所得一元二次方程根的判别式 来判断. 2.几何法:确定圆的圆心和半径,通过比较圆心到直线的距离与圆半径的 大小
4、来判断. 实际应用中“几何法”要优于“代数法”. 例1 (2016浙江杭州模拟,5)若直线y=kx+4+2k与曲线y= 有两个 交点,则k的取值范围是 ( B ) A.1,+) B. C. D.(-,-1,解决直线与圆位置关系问题的方法,方法技巧,解题导引,解析 曲线y= 即x2+y2=4(y0), 表示一个以(0,0)为圆心,2为半径的位于x轴及其上方的半圆,如图所示.直线y=kx+4+2k即y=k(x+2)+4, 表示一条过点A(-2,4)且斜率为k的直线,结合图形可得kAB= =-1, 又由 =2可得k=- , 即kAT=- , 要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是 ,故选B.
5、,评析 本题考查了曲线与方程、直线过定点问题、直线与圆的 位置关系等知识点,利用数形结合思想找到边界位置是解题的关键.,判断方法:注意:圆与圆的位置关系不可用代数法(将两圆方程联立,运用判别式) 来进行判断.,圆与圆的位置关系问题的解决策略,例2 (2017广东五校协作体一模,16)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1 -4b2=0恰有三条公切线,若aR,bR且ab0,则 + 的最小值为 .,解题导引,解析 将x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1-4b2=0化为标准方程得(x+a)2+y2 =4,x2+(y-2b)2=1,依题意得两圆相外切,故 =1
6、+2=3,即a2+4b2=9,所 以 + = = + + + +2 =1,当且 仅当 = ,即a2=2b2时等号成立,故 + 的最小值为1.,答案 1,1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率,当斜率不存在时,切线方程为y=y 0;当斜率存在时,设为k,k0时由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式 方程可求出切线方程,k=0时切线方程为x=x0. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程(切线斜率存在) (1)几何法:设切线斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由 圆心到直线的距离等于半径,求得k,即可得出切线方程.
7、 (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到 一个关于x的一元二次方程,由=0,求得k,切线方程即可求出.,解决与圆有关的切线和弦长问题的方法,3.圆的弦长的求法 (1)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则 =r2-d2. (2)代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由 消去y后得到关于x的一元二次方程,从而求得x1+ x2,x1x2,则弦长|AB|= (k为直线斜率). 例3 已知点P( +1,2- ),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程; (2)求过
8、点M的圆C的切线方程,并求出切线长.,解题导引,解析 由题意得圆心为C(1,2),半径r=2. (1)( +1-1)2+(2- -2)2=4,点P在圆C上. 又kPC= =-1,切线的斜率k=- =1. 过点P的圆C的切线方程是y-(2- )=x-( +1),即x-y+1-2 =0. (2)(3-1)2+(1-2)2=54,点M在圆C外部. 当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r, 直线x-3=0是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d= =r=2, 解得k= . 切线方程为y-1= (x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. |MC|= = , 过点M的圆C的切线长为 = =1.,
