1、第九章 平面解析几何,高考文数,9.4 双曲线及其性质,知识清单,考点一 双曲线的定义及性质1.双曲线的定义及性质,2.点P(x0,y0)和双曲线 - =1(a0,b0)的关系: (1)P在双曲线内(含焦点) - 1; (2)P在双曲线上 - =1; (3)P在双曲线外 - 1.,考点二 直线与双曲线的位置关系设AB为双曲线 - =1(a0,b0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设直线AB的斜率存在,且不为零,记为k(k0). 1.弦长|AB|=|x1-x2| = |y1-y2| . 2.k= . 3.直线AB的方程为y-y0= (x-x0). 4.弦AB的垂
2、直平分线方程为y-y0=- (x-x0). 知识拓展 1.过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成,的ABF2的周长为4a+2|AB|.2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 . 3.P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2 的面积为 .,4.焦点到渐近线的距离为b. 5.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (2)双曲线为等轴双曲线双曲线离心率e= 两条渐近线互相垂直. 6.双曲线 - =1(a0,b0)的共轭双曲线为 - =1(a0,b0),它们有 共同的渐近线y= x,离心率满足的关系为 + =1.
3、,7.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线 PA与PB的斜率之积为 .,求双曲线标准方程的方法 1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程. 3.利用待定系数法求双曲线标准方程的常用设法:与双曲线 - =1 (a0,b0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =(0);若双曲线的 渐近线方程为y= x,则双曲线方程可设为 - =(0);若双曲线
4、过两个已知点,则双曲线方程可设为 + =1(mn0),也可设为Ax2+By2=1(AB0).,方法技巧,例1 (1)(2017天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F, 点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则 双曲线的方程为 ( D ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1 (2)设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交 点的坐标为( ,4),则此双曲线的标准方程是 .,解析 (1)不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ), 所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1
5、,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故 选D. (2)解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为 - =1 (a0,b0),根据双曲线的定义知2a=| -|=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为- =1. 解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,3).设双曲线方程为 - =1(a 0,b0),则a2+b2=9,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1,联立,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法三:设双曲线的方程为 + =1(2736), 由于双曲线过点( ,4),故 + =1, 解得1=32,2=0, 经检验,
6、1=32,2=0都是分式方程的根,但=0不符合题意,应舍去,所以=32. 故所求双曲线的标准方程为 - =1.,答案 (2) - =1,求双曲线的离心率(范围)的方法 1.根据已知条件确定a,b,c的关系,再求出e= ,要注意区分双曲线的渐近 线的斜率与离心率的关系以及双曲线离心率的范围. 2.求解双曲线离心率范围的方法:在解析几何中,求范围问题一般可从以 下几个方面考虑:与已知范围联系,通过求值域或解不等式来完成; 通过判别式的大小建立不等关系;利用点与曲线的位置关系构建不 等关系;利用解析式的结构特点,如a2,|a|, 等的非负性来完成范围的 求解.,例2 (2016山东,14,5分)已知
7、双曲线E: - =1(a0,b0).矩形ABCD的 四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离 心率是 .,解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所 以 =6c,2b2=3ac, =3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).,答案 2,例3 (2017河南百校联盟二联,15)已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足 , 若双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则 双曲线离心率的取值范围是 .,解题导引 由 得点P的 轨
8、迹方程 由双曲线方程得 渐近线方程 利用直线与圆的位置关系 列出a,b的不等式 转化为e的不等式, 得e的范围,解析 设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹方程为(x-1)(x+1)+(y-2)2=0, 即x2+(y-2)2=1.它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.又双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为y= x,即bxay=0,由题意可得, 1,又b2= c2-a2,所以 1,故离心率的取值范围为(1,2).,答案 (1,2),直线和双曲线位置关系问题的求解方法 1.有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常转化为一元二次方程根的 问题来讨论,从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有
9、特定系数的 方程来求解. 2.当直线与双曲线只有一个公共点时,只讨论二次项系数不为0且判别 式等于0是不够的,还应讨论二次项系数等于0的情况,此时得到的斜率k 恰好等于双曲线渐近线的斜率,这样的直线l与双曲线相交,但交点只有 一个,所以直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充 分条件. 3.求解直线与双曲线相交的弦长问题时,常结合“根与系数的关系”,利 用弦长公式|AB|= (k为直线的斜率)进行求解.,例4 (2017广东惠州二调,9)过点P(2,1)作直线l,使l与双曲线 -y2=1有 且仅有一个公共点,这样的直线l共有 ( B ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,解题
10、导引,解析 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l与双曲 线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k,由 得x2-4(kx+1-2k)2=4,即(1-4k2)x2-8(1-2k)kx-4(1-2k)2-4=0(*). 若1-4k2=0,则k= , 当k= 时,方程(*)无实数解,因此k= 不满足题意; 当k=- 时,方程(*)有唯一实数解, 因此k=- 满足题意; 当1-4k20,即k 时,=64k2(1-2k)2+16(1-4k2)(1-2k)2+1=0不成立,此,时满足题意的实数k不存在. 综上所述,满足题意的直线l共有2条,选B.,例5 若双曲线E: -y2=1(a0)的离心率为 ,直线y=kx-1与双曲线E的 右支交于A、B两点. (1)求k的取值范围; (2)若|AB|=6 ,求k的值.,解题导引,解析 (1)由 得 故双曲线方程为x2-y2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得(1-k2)x2+2kx-2=0. 直线与双曲线右支交于A,B两点, 解得1k .,(2)由得x1+x2= ,x1x2= . |AB|= = =6 , 整理得28k4-55k2+25=0, k2= 或k2= . 又1k ,k= .,
