1、9.5 双曲线及其性质,高考理数,考点一 双曲线的定义及其标准方程 1.双曲线的两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|=2c,对双曲线上任意一 点M都有|MF1|-|MF2|=2a2c,其轨迹 不存在 . 2.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程是根据双曲线的定义,通过建立恰当的坐标系求出 的.若已知所求曲线是双曲线,也可利用待定系数法求方程.参数b= 是由于进一步化简方程的需要而引入的,但它同样具有明确的 几何意义,即b表示双曲线虚半轴的长.由双曲线的标准方程可确定双曲 线实半轴长a和虚半轴长b,再结合c2=a2+b2,就可得到双曲线的顶点、焦,知识清单,点坐标,实轴长,虚轴长,焦距,离心率,
2、渐近线等性质. 求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去 考虑.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点 在哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设双曲线方程的具体形式; “定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.若双曲线的焦点在x 轴上,可设双曲线方程为 - =1(a0,b0);若双曲线的焦点在y轴上,可 设双曲线方程为 - =1(a0,b0) ;若焦点位置无法确定,可设双 曲线方程为 - =1(mn0)或Ax2-By2=1(AB0)的形式,这样可避免讨论, 减少运算量.,考点二 双曲线的几何性质,实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.双曲线为等轴双曲
3、线 双曲线的离心率e= 两条渐近线互相垂直.,考点三 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其 他综合问题.解决这样的问题,常用下面的方法: 将双曲线方程C: - =1与直线方程l:y=kx+m联立消去y,整理得(b2-a2k2) x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0,当b2-a2k2=0,即k= 时,直线l与双曲线C的渐近线 平行,直线l与双曲线C只有一个交点;当b2-a2k20,即k 时,设该一元 二次方程根的判别式为. (1)当0时,直线与双曲线有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),则可结合根与 系数的关系,代入弦长公式|MN|=
4、求弦长; (2)当=0时,直线与双曲线相切; (3)当0时,直线与双曲线相离.,【知识拓展】 1.点P(x0,y0)和双曲线 - =1(a0,b0)的关系 (1)P在双曲线内 - 1(含焦点); (2)P在双曲线上 - =1; (3)P在双曲线外 - 1. 2.过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的 ABF2的周长为4a+2|AB|.,3.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 . 4.P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2 的面积为 .,5.焦点到渐近线的距离为b. 6.设A,B分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右
5、顶点,P为双曲线上不 同于A,B的任意一点,则kPAkPB= .,1.定义法:根据题目的条件,若满足定义,求出相应的a,b的值即可求得方程. 2.待定系数法: (1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:定位:确定焦点位置; 定型:由焦点位置设方程;定值:根据条件确定相关参数的值. (2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法: 与双曲线 - =1共渐近线的方程可设为 - =(0); 若双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线的方程可设为 - =( 0);,求双曲线的标准方程的方法,方法技巧,若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为 + =1(mn0,b0)的右焦点 为F,点B是虚轴的一个端点,
6、线段BF与双曲线C的右支交于点A,若 =2,且| |=4,则双曲线C的方程为( D ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,解题导引,解析 不妨设B(0,b),由 =2 ,F(c,0),可得A ,代入双曲线C的方 程可得 - =1,即 = , = , 又| |= =4,c2=a2+b2, a2+2b2=16, 由可得,a2=4,b2=6, 双曲线C的方程为 - =1,故选D.,1.关于双曲线的渐近线 (1)求法:求双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令 - =0, 即得两渐近线方程为 =0 . (2)两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线
7、关于x轴、 y轴对称. (3)与双曲线 - =1(a0,b0)共渐近线的双曲线方程可设为 - = (0).,双曲线的几何性质的应用策略,2.关于双曲线的离心率 双曲线的离心率e= = ,求双曲线的离心率只需根据一个条件得 到关于a,b,c的齐次方程,结合c2=a2+b2即可求出. 例2 (2017福建福州3月质检,11)已知双曲线E: - =1(a0,b0)的 左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2|=6,P是E右支上的一点,PF1与y轴交于点 A,PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|= ,则E的离心率是( C ) A.2 B. C. D.,解题导引,解析 如图所示,设PF1、PF
8、2分别与PAF2的内切圆切于M、N,依题意, 有|MA|=|AQ|,|NP|=|MP|,|NF2|=|QF2|,|AF1|=|AF2|=|QA|+|QF2|,2a=|PF1|-|PF2|= (|AF1|+|MA|+|MP|)-(|NP|+|NF2|)=2|QA|=2 ,故a= ,从而e= = = ,故 选C.,1.直线与双曲线的位置关系:无交点;有一个交点,可能相切,也可能 相交;有两个交点,在一支上或在两支上. 2.研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程, 消元,得关于x或y的方程,当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某 支上一点;当二次项系数不等于0时,用判别式来
9、判定. 例3 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1. (1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; (2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为 ,求实数k的 值.,解决直线与双曲线位置关系问题的方法,解题导引,解析 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点, 则方程组 有两个不同的解, 消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 解得- |x2|时,SOAB=SOAD-SOBD= (|x1|-|x2|)= |x1-x2|; 当A,B两点在双曲线的两支上且x1x2时, SOAB=SOAD+SOBD= (|x1|+|x2|)= |x1-x2|, SOAB= |x1-x2|= ,(x1-x2)2=(2 )2, 即 + =8,解得k=0或k= . 又- k 且k1, 当k=0或k= 时,AOB的面积为 .,评析 解与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题时,常采用 解方程组的方法,利用判别式进行求解;解与弦长有关的问题时,常常利 用根与系数的关系,用整体代入的方法求解,这样可以避免求交点,使运 算过程得到简化.,
