1、第六章 数列,高考文数,6.2 等差数列及其前n项和,知识清单,考点一 等差数列及其性质1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用字母d表示. 2.等差中项 如果A= ,那么A叫做a与b的等差中项.,3.等差数列的常用性质 (1)若an是等差数列,公差为d,则an=am+(n-m)d(n,mN*). (2)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. (3)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md 的等差数列. (4)若an
2、是等差数列,m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq.,考点二 等差数列的通项公式及前n项和公式 1.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 2.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d,则其前n项和Sn= 或Sn=na1+ d. 3.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= n2+ n. 非零数列an是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是关于n的二 次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B20).,4.在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最小值. 5.与等差
3、数列各项的和有关的性质 (1)若an是等差数列,则 也是等差数列,其首项与an的首项相同, 公差是an公差的 . (2)Sm,S2m,S3m分别为等差数列an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm, S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n,则S偶-S奇=nd, = .,若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, = .,等差数列的基本运算技巧 等差数列an中一共涉及五个基本量,即首项a1,第n项an,项数n,公差d以 及前n项和Sn.在a1,an,n,d,Sn中,只要知道其中三个,其他两个就能求(简称
4、“知三求二”).其中a1与d是两个最基本的量,往往用它们表示其他的量 列出方程(组)进行求解. 例1 (1)(2017江西红色七校第一次联考,4)设等差数列an的前n项和 为Sn,若2a7=5+a9,则S9的值为 ( C ) A.27 B.36 C.45 D.54 (2)(2016湖北七校2月联考,16)已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn, 若Sk-2=-4(k2),Sk=0,Sk+2=8,则k= .,方法技巧,解题导引 (1)设公差为d 将an=a1+(n-1)d代入 2a7=5+a9求a5 将a5代入S9得结论 (2)由Sk+2-Sk和Sk-Sk-2(k2)找关系式 求出公差d 用含
5、k和n的式子表 示出an 代入ak-1+ak=4(k2) 结论,解析 (1)设an的公差为d.因为2a7=5+a9,所以2(a1+6d)=5+a1+8d,即a5=a1 +4d=5,所以S9= =9a5=45.故选C. (2)设数列an的公差为d,由题意,得Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=8,Sk-Sk-2=ak-1+ak=4(k 2),两式相减,得4d=4,即d=1,由Sk=ka1+ =0,得a1=- ,an=- + (n-1).则由ak-1+ak=4(k2),得-(k-1)+(2k-3)=k-2=4,解得k=6.经验证,符合题意.,答案 (2)6,等差数列性质的应用策略 1.有穷等差数列
6、中,与首末两项距离相等的两项的和相等,并且等于首末 两项之和.特别地,若项数为奇数,则首末两项之和等于中间项的2倍,即a1 +an=a2+an-1=a3+an-2=2 . 2.若m,n,p,kN*,且m+n=p+k,则am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是等差数列中 的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap. 3.在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的 新数列仍然是等差数列,但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差 数列. 4.等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列. 5.若数列an与bn均为等差数列,则man+kbn仍为等差数列,其
7、中m,k均,为常数,且an,bn的项数相同. 6.项数为偶数2n的等差数列an中,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an与an+1为 中间的两项). 7.等差数列an中,若an=m,am=n(mn),则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(mn),则 Sm+n=-(m+n);若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0. 例2 (2015课标,5,5分)设Sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3, 则S5= ( A ) A.5 B.7 C.9 D.11,解题导引 a1+a3+a5=3a3=3 a3=1 S5= =5a3=5,解析 an为等差数列,a1+a5=2a3, 3a3=
8、3,则a3=1,S5= =5a3=5,故选A.,等差数列前n项和的最值问题的求解方法 1.利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,进而求得和的最值. 2.利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数且A不为零)为二次函 数,根据二次函数的性质求最值. 注意:只有当a10,d0时,无穷数列的前n项和才有最小值,其最 小值是所有非正项的和.,例3 (2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模,6)等差数列an的 公差d0,且a3,a5,a15成等比数列,若a5=5,Sn为数列an的前n项和,则数列 的前n项和取最小值时的n为( B ) A.3 B.3或4 C.4或5 D.5,解析 由题意知 由d0,解得a1=-3,d=2, = =-3+n-1=n-4, 由n-40,得n4, 数列 的前n项和取最小值时的n为3或4. 故选B.,解题导引 由基本量a1和d及 =a3a15,a5=5,求a1和公差d 得出 的表达式 由 0得n的取值范围 结论,
