1、第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和,高考理数,考点一 等差数列及其性质 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它相邻前面一项的差是同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常 用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1) d,nN*. 3.等差中项 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项.,知识清单,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al
2、=am+an. (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn是等差数列. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数 列.,考点二 等差数列前n项和公式 1.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d,则其前n项和Sn= 或Sn= na1+ d . 2.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= n2+ n. 非零数列an是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是n的二次函 数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B20). 3.在等差数列an中,若
3、a10,d0,则Sn存在最,1.等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证 明,都可围绕a1和d进行. 2.对于等差数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1, d.如果再给出第三个条件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题, 这体现了用方程思想解决问题的思路. 3.注意设元技巧,减少运算量.如果三个数成等差数列,一般可设为a-d,a, a+d;如果四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,有关等差数列运算的求解技巧,方法技巧,解题导引,解析 Sn=na1+ d,因为S1,S2,S4成等比数列, 所以S1S4= , 即a1
4、(4a1+6d)=(2a1+d)2, 因为a1=- , 所以- (-2+6d)=(-1+d)2, 即d2+d=0,解得d=0或d=-1. 又因为d0,所以d=-1,故选A.,1.证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*). 2.解选择题、填空题时,可用通项法或前n项和法直接判断. (1)通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则an是 等差数列; (2)前n项和法:若数列an的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数), 则
5、an为等差数列.,等差数列的判定与证明,解析 (1)证明:bn+1-bn= - = - = -=2,数列bn是公差为2的等差数列, 又b1= =2,bn=2+(n-1)2=2n. 2n= ,解得an= . (2)由(1)可得cn= = , cncn+2= =2 , 数列cncn+2的前n项和为,Tn=2 + + + + =23. 要使得Tn 对于nN*恒成立,只要3 ,即 3, 解得m3或m-4,且m为正整数,故m的最小值为3.,思路分析 (1)利用递推公式可得出bn+1-bn为一个常数,从而证明数列 bn是等差数列,可得到等差数列bn的通项公式,进而得到an的通项 公式;(2)利用(1)的结论,利用“裂项求和”即可得到Tn,要使得Tn 对于nN*恒成立,只要3 ,即 3,解不等式即可.,求等差数列an的前n项和Sn的最值的方法: 二次函数法当公差d0时,将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法,借 助函数的单调性及数形结合,使问题得解 通项公式法求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最 小)值 不等式法当Sn最大时,有 (n2,nN*),解此不等式组确定n的 范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值) 例3 在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,当n取何值时, Sn取得最大值?并求出它的最大值.,等差数列前n项和的最值问题,
