1、第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和,高考理数,考点一 等比数列及其性质 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,公比通常用字母q(q0)表示. 2.等比数列的通项公式 an=a1qn-1(a1q0)或an=amqn-m(amq0).既是等差数列又是等比数列的数 列是 非零常数列 . 3.等比数列的单调性 等比数列an的通项公式为an=a1qn-1(a1q0),它的图象是分布在y= qx 曲线(q0)上的一群 孤立 的点.,知识清单,当a10,q1时,等比数列an是递增数列;
2、当a10,01时,等比数列an是递减数列; 当q0). (2)同号的两个数才有等比中项.,5.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 akal=aman . (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0), , ,anbn,仍是等比数列.,考点二 等比数列前n项和公式 1.等比数列an的前n项和公式 (1)当q=1时,Sn= na1 . (2)当q1时,Sn= = . 2.等比数列的前n项和的性质 (1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n满足关系式(S2n-Sn)2=Sn(S3
3、n-S2n),但不能说Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列. (2)若等比数列an的项数为2n,公比为q,则 = q ,其中S偶、S奇分 别是数列的偶数项和与奇数项和.,1.等比数列可以由首项a1和公比q确定,所有关于等比数列的计算和证 明,都可围绕a1和q进行. 2.对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1, q.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,q,n,Sn的“知三求二”问题. 注意 (1)等比数列求和要讨论q=1和q1两种情况. (2)计算过程中,出现方程qn=t时,要看qn中的n是奇数还是偶数.若n是奇 数,则q= ;若n是偶数,则t0时,q
4、= ,t0时,无解.,等比数列基本运算的解题技巧,方法技巧,例1 (1)(2017湖南三湘名校联盟三模,10)一个等比数列an的前三项 的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( B ) A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 (2)(2017广东惠州第二次调研,4,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=- 8,则a1+a10= ( D ) A.7 B.5 C.-5 D.-7,例2 (2016课标全国,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中 0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5= ,求.,解析 (1)由题意得a1=S1=1+a1, 故1,a1= ,a10. (2分) 由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an 0,所以 = . 因此an是首项为 ,公比为 的等比数列,于是an= . (6分) (2)由(1)得Sn=1- . 由S5= 得1- = ,即 = . 解得=-1. (12分),
