1、11.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,高考理数,考点一 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做 随机变量;按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xn,取每一个值xi(i=1,2, ,n)的概率P(=xi)=pi,则称表,知识清单,为离散型随机变量的概率分布,或称为离散型随机变量的分布列,它 具有性质:a.pi0,i=1,2,n;b.p1+p2+pi+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值 的概率之和. 2.如
2、果随机变量X的分布列为,其中0p1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布. 3.超几何分布列 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件X=k 发生的概率为P(X=k)= (k=0,1,2,m) ,其中m=minM, n,且nN,MN,n、M、NN*,称分布列,为超几何分布列.,考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.均值与方差的定义 若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值 称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映 了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称DX= (xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它
3、刻画了随机变量X与其均值EX 的平均偏离程度,其算术平方根 为随机变量X的标准差,记作X. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aE(X)+b . (2)D(aX+b)= a2D(X) .(a,b为实数) 3.两点分布的均值、方差 若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).,1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行:2.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率, 在求解时,要注意应用计数原理、排列组合及常见概率模型的应用.,离散型随机变量分布列的求法,方法技巧,例1 (2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价 不同心理暗
4、示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分 成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这 两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6 名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人 接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期 望EX.,解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望. (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则P(M)= =
5、 . (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = ,P(X=3)= = , P(X=4)= = . 因此X的分布列为,X的数学期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1 +2+3 +4 =2.,注意:(1)解决实际应用问题时,关键是正确理解随机变量取每一个值时 所表示的具体事件;(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水 平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画,求离散型随机变量的期望与方差的方法,了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要
6、理论依据,一般先比较 均值,若均值相同,再用方差来决定.,例2 (2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋 中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元, 求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有 面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成. 为了使顾客得到
7、的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.,解题导引,解析 (1)设顾客所获的奖励额为X. (i)依题意,得P(X=60)= = , 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 . (ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60. P(X=60)= ,P(X=20)= = , 故X的分布列为,所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)=200.5+600.5=40(元). (2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为60元. 所以,先寻找数学期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,
8、50)的方案,因为 60元是面值之和的最大值,所以数学期望不可能为60元;如果选择(50, 50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能 为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40, 40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布,列为,X1的数学期望为E(X1)=20 +60 +100 =60, X1的方差为D(X1)=(20-60)2 +(60-60)2 +(100-60)2 = . 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布 列为,X2的数学期望为E(X2)=40 +60 +80 =60, X2的方差为D(X2)=(40-60)2 +(60-60)2 +(80-60)2 = . 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案2奖励额的方差 比方案1的小,所以应该选择方案2.,评析 本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期 望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识, 考查必然与或然思想、分类与整合思想.,
