1、127.4 正多边形和圆一、选择题12018益阳如图 K221，正方形 ABCD内接于 O， AB4，则图中阴影部分的面积是( )图 K221A416B816C1632D32162在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结A1 个 B2 个C3 个 D4 个3一个正 n边形的中心角是它的一个内角的 ，则 n的值为( )15A12 B11 C10 D84如图 K222 所示，在 O中， OA AB， OC AB，则下列结论错误的是( )图 K222A弦 AB的长等于圆内接正六边形的边长B弦 AC的长等于圆内接正十二
2、边形的边长2C. AC BC D BAC305如图 K223，正六边形 ABCDEF内接于 O，若直线 PA与 O相切于点 A，则 PAB的度数为( )图 K223A30 B35 C40 D606正六边形的边心距与边长之比为( )A. 3 B. 2 C12 D. 23 3 27圆内接正五边形 ABCDE中，对角线 AC和 BD相交于点 P，则 APB的度数是( )链 接 听 课 例 3归 纳 总 结A36 B60 C72 D1088若正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 2，则这个正多边形为( )3A正十二边形 B正六边形C正方形 D正三角形9如图 K224 所示， PQR是 O的内接正三角形
3、，四边形 ABCD是 O的内接正方形，BC QR，则 AOQ的度数为( )图 K224A60 B65 C72 D75二、填空题310已知正六边形的边长为 a，则它的内切圆的面积为_11如图 K225，将边长为 3的正六边形铁丝框 ABCDEF变形为以点 A为圆心， AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 AFB(阴影部分)的面积为_图 K22512如图 K226，在 O的内接四边形 ABCD中， AB AD， C120，点 E在 上若AD AE恰好为 O的内接正十边形的一边， DAE的度数为_图 K226三、解答题13如图 K227 所示， O中， .求证：六边形 ABCDEF是正六
4、AB BC CD DE EF FA 边形图 K227414如图 K228 所示，已知等边三角形 ABC的外接圆 O的半径为 R，求 ABC的边长a，周长 P，边心距 r及面积 S.链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K22815如图 K229，在正五边形 ABCDE中，连结 AC， AD， CE， CE交 AD于点 F，连结 BF.小颖得出了下列四个结论：(1) CDF的周长等于 AD CD；(2)FC平分 BFD；(3)AC2 BF24 CD2；(4)DE2 EFCE.你认为这四个结论正确吗？请说明理由5图 K229616如图 K2210，已知 O和 O上的一点 A.(1)作 O的内接正
5、方形 ABCD和内接正六边形 AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点 E在 上，求证： DE是 O的内接正十二边形的一边AD 链 接 听 课 例 4归 纳 总 结图 K2210素养提升 思维拓展 能力提升阅读探究阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正 n(n3)边形各边都相切的圆叫做正 n边形的内切圆设正 n边形的面积为 S 正 n边形 ，其内切圆的半径为 r，试探索正 n边形的面积图 K2211(1)如图 K2211 所示，当 n3 时，设 AB切 O于点 C，连结 OC， OA， OB，则 OC AB，
6、OA OB， AOC AOB， AB2 AC.127在 Rt AOC中， AOC 60， OC r，12 3603 AC rtan60， AB2 rtan60， S OAB r2rtan60 r2tan60，12 S 正三角形 3 S OAB3 r2tan60.(2)如图 K2212，当 n4 时，仿照(1)中的方法和过程可求得： S 正四边形 4 SOAB_；(3)如图，当 n5 时，仿照(1)中的方法和过程求 S 正五边形 ；(4)如图，根据以上探索过程，请直接写出 S 正 n边形 _图 K22128教师详解详析课堂达标1.解析 B 连结 OA，OB，如图四边形 ABCD为正方形，AOB9
7、0.设 OAOBr，则 r2r 24 2，解得 r2 .2S 阴影 S O S 正方形 ABCD (2 )24 28 16.2故选 B.2答案 A3答案 A4解析 D 因为 OAOBAB，所以OAB 是等边三角形又因为 OCAB，所以AOCBOC30，所以BAC15， ，所以 A， B， C正确， D不正确AC BC 5答案 A6解析 B 如图，设正六边形的边长是 a，则其半径长也是 a.过正六边形的中心 O作边 AB的垂线段 OC，连结 OA，OB，则 AC AB a，12 12OC a，OA2 AC232正六边形的边心距与边长之比为 aa 2.故选 B.32 397答案 C8解析 B 正多
8、边形的内切圆与外接圆的周长之比为 2，则半径之比为 2.3 3如图，设 AB是正多边形的一边，O 为正多边形内切圆与外接圆的圆心，OCAB 于点C，OC k，则 OAOB2k，3在 RtAOC 中，cosAOC ，OCAC 32AOC30，AOB60，则正多边形的边数是 6.故选 B.360609解析 D 因为圆心角与它所对弧的度数相等，所以求出 的度数就求出了AOQ 的大AQ 小，而 .根据题意，得 所对的圆心角为 120， 所对的圆心角为 360AQ PQ AP PQ AP 1845，所以 所对的圆心角为 1204575，所以AOQ75.AQ 10答案 3 a2411答案 18解析 由题意
9、可得，正六边形的边长 AB就是扇形的半径，正六边形的边长BC，CD，DE，EF 的和就是扇形的弧长，所以扇形 AFB的半径 AB3，弧 BDF的长为 12，所以扇形 AFB(阴影部分)的面积为 S rl 31218.故答案为 18.12 1212答案 42 解析 连结 BD，OA，OE，OD，如图所示10四边形 ABCD是O 的内接四边形，BADC180.C120，BAD60.又ABAD，ABD 是等边三角形，ABD60，AOD2ABD120.AE 恰好为O 的内接正十边形的一边，AOE3601036，DOE1203684，DAE42.13解析 由弧相等得到弦相等，从而证得该六边形的六条边相等
10、，由弧相等也可以证得该六边形的六个内角相等证明： ， AB BC CD DE EF FA ABBCCDDEEFFA(等弧所对的弦相等) ，BCF CEA BED CAE DAF ACE ABCDEF(等弧所对的圆周角相等)，六边形 ABCDEF是正六边形14解：如图，连结 OB，OC，过点 O作 ODBC 于点 D，则 OBR，OBD ABC30，12OD OB R，12 12a2 2 R R，R2 (12R)2 32 3P3a3 R，311rOD R，12S3 ar3 R R R2.12 12 3 12 3 3415解：结论(2)错误，其他三个结论都正确理由：正五边形的每一个内角均为 108
11、，由 AEDE，可求得EADEDA36，同理可得ECD36.又因为FEDDEC，所以EFDEDC，可得 DE2EFCE；由角的关系可得 AFCF，所以CDF 的周长CFDFCDAFDFCDADCD.所以(1)和(4)正确易知AFBBFC54，而CFD72，所以(2)是错误的由条件可得 ABBCAFCF，所以四边形 ABCF是菱形，则 AC垂直平分 BF，设 AC与 BF交于点 M，由勾股定理可得 CM2MF 2CF 2，从而可得 AC2BF 24CD 2，所以(3)正确16解：(1)作法：作O 的直径 AC；作直径 BDAC；依次连结 A，B，C，D 四点，则四边形 ABCD即为O 的内接正方
12、形；12分别以 A，C 为圆心，OA 长为半径作弧，交O 于点 E，H 和 F，G；顺次连结 AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形 AEFCGH即为O 的内接正六边形(2)证明：如图，连结 OE，DE.AOD 90，3604AOE 60，3606DOEAODAOE906030，DE 为O 的内接正十二边形的一边素养提升解：(2)4r 2tan45(3)如图，当 n5 时，设 AB切O 于点 C，连结 OC，OA，OB，则 OCAB，OAOB，AOC AOB 36，AB2AC.12 12 3605OCr，ACr tan36，AB2r tan36，S OAB r2rtan36r 2tan36，12S 正五边形 5S OAB 5r 2tan36.(4)nr2tan180n
