1、1第 2 课时 坡度、方向角与解直角三角形关键问答将方向角转化成三角形内角的方法有哪些？坡角和坡度的关系是什么？ 1 如图 28230，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 80 海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，这时海轮所在的 B 处与灯塔 P 的距离为( )图 28230A40 海里 B40 海里2 3C80 海里 D40 海里62 如图 28231 是某拦水坝的横断面示意图，斜坡 AB 的水平宽度 AC 的长为 12米，斜面坡度为 12，则斜坡 AB 的长为( )图 28231A4 米 B6 米3 5C12 米 D2
2、4 米5命题点 1 方向角在海面上的应用 热度：93%3. 如图 28232，一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B2的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行，20 分钟后，救援船在海岛C 处恰好遇上渔船，那么救援船航行的速度为( )图 28232A10 海里/时 B30 海里/时3C20 海里/时 D30 海里/时3 3解题突破由两个方向角的和及平行线的性质定理可得 ABC 各内角的度数，进而求解即可.42018济宁如图 28233，在一笔直的海岸线
3、l 上有相距 2 km 的 A， B 两个观测站， B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上，从 B 站测得船 C在北偏东 30的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是_km.图 2823352017乌鲁木齐如图 28234，一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60方向，距离港口 A20 海里的 B 处，它沿着北偏西 37方向航行至 C 处突然出现故障，在 C 处等待救援，B， C 之间的距离为 10 海里，救援船从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处，求救援船的航行速度(结果取整数参考数据：sin370.6，cos370.8， 1.732)3图 282343
4、6. 如图 28235，我国某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向 25 海里的 B处，该渔政船收到渔政搜救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东 60方向以每小时 40 海里的速度航行半小时到达 C处，再向南偏东 53方向航行，同时捕鱼船向正北方向低速航行若两船航速不变，并且在 D 处会合，求 C， D 两点间的距离和捕鱼船的速度(结果保留整数参考数据：1.7 ，sin53 ，cos53 ，tan53 )345 35 43图 28235解题突破通过作辅助线可
5、以把四边形 ABCD 转化成两个直角三角形和一个矩形求解.命题点 2 方向角在陆地上的应用 热度：90%72017百色如图 28236，在距离铁轨 200 米的 B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 A 处时，恰好位于 B 处的北偏东 60方向上，10 秒钟后，动车车头到达 C 处，恰好位于 B 处的西北方向上，则这列动车的平均车速是_米/秒( )图 28236A20(1 ) B20( 1) C200 D3003 38在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图 28237，河岸EF MN，小聪在河岸 MN 上的点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向，然
6、后他沿河岸走了 30 米，到达 B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30方向，此时，其他同学测得 CD10 米，根据这些数据可求出河的宽度为_米(结果保留根号)4图 282379. 如图 28238， AC 是某市环城路的一段， AE， BF， CD 都是南北方向的街道，它们与环城路 AC 的交叉路口分别是 A， B， C.经测量，花卉世界 D 位于点 A 的北偏东 45方向，点 B 的北偏东 30方向上， AB2 km， DAC15.(1)求 B， D 之间的距离；(2)求 C， D 之间的距离图 28238解题突破利用方向角、平行线的性质及三角形外角的性质，可得 ABD 是等腰三角形
7、.命题点 3 坡度在实际问题中的应用 热度：93%102018重庆如图 28239，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角 AED58，升旗台底部到教学楼底部的距离 DE7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i10.75，坡长 CD2 米若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC1 米，则旗杆 AB 的高度约为(参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6)( )图 28239A12.6 米 B13.1 米 C14.7 米 D16.3 米112018重庆如图 28240， AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建
8、筑物底端 B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度(或坡比)为i10.75、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点E(点 A， B， C， D， E 均在同一平面内)在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24，则建筑物 AB 的高度约为(参考数据：sin240.41，cos240.91，tan240.45)( )5图 28240A21.7 米 B22.4 米 C27.4 米 D28.8 米12. 如图 28241，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm，深为 30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶
9、的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 i15，则 AC 的长度是_ cm.图 28241解题突破利用平移可得斜坡 BC 的高.13. 如图 28242，点 A， B， C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段 AB， BC 表示连接缆车站的钢缆，已知 A， B， C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔AA， BB， CC分别为 110 米，310 米，710 米，钢缆 AB 的坡度 i112，钢缆 BC 的坡度 i211，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C 沿直线架设一条钢缆，那么钢缆 AC的长度是多少米？图 28242解题突破利用 A， B， C 三点的海拔，可以求出
10、 AB， BC 的竖直高度，进而利用坡度求出其水平宽度，再利用勾股定理求出 AC 的长度.14. 如图 28243，高 36 米的楼房 AB 正对着斜坡 CD，点 E 在斜坡 CD 的中点处，已知斜坡的坡角(即 DCG)为 30， AB BC.(1)若点 A， B， C， D， E， G 在同一个平面内，从点 E 处测得楼顶 A 的仰角 为 37，6楼底 B 的俯角 为 24，则点 A， E 之间的距离是多少米(结果精确到 0.1 米)?(2)现计划在斜坡中点 E 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线 BC 的平台 EF 和一条新的斜坡 DF，使新斜坡 DF 的坡比为 1.某施工队承接了这项任
11、务，为尽快完成任务，3增加了人手，实际工作效率提高到原计划的 1.5 倍，结果比原计划提前 2 天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？(参考数据：cos370.80，tan370.75，tan240.45，cos240.91)图 28243解题突破对于(1)可先求出点 E 到 AB 的距离，从而求出 AE 的长度，对于(2)可先求出 EF， DF的长度，再列分式方程求解.7详解详析1A 2.B3D 解析 CAB102030， CBA802060， C90. AB20 海里， AC ABcos3010 海里，救援船航行的速度为 10 30 (海里/时)3 32060 34. 解析 如图，过
12、点 C 作 CD AB 于点 D，3根据题意得： CAD906030， CBD903060， ACB CBD CAD30， CAB ACB， BC AB2 km.在 Rt CBD 中， CD BCsin602 (km)32 35解：如图，过点 B 作 BD AD，垂足为 D，过点 C 作 CE BD 于点 E，反向延长 EC 交AF 于点 F.由题意，知 FAB60， CBE37， BAD30. AB20 海里， BD10 海里在 Rt ABD 中， AD 10 17.32(海里)AB2 BD2 3在 Rt BCE 中，sin37 ，CEBC CE BCsin37100.66(海里)cos37
13、 ，EBBC EB BCcos37100.88(海里) EF AD17.32 海里， FC EF CE11.32 海里， AF ED EB BD18 海里在 Rt AFC 中，AC 21.26(海里)AF2 FC2 182 11.32220 分钟 小时，21.26 21.26364(海里/时)13 138答：救援船的航行速度约是 64 海里/时6解：如图，过点 C 作 CG AB 于点 G，过点 D 作 DF CG 于点 F.在 Rt CBG 中，由题意知 CBG30， BC40 20(海里)，12 CG BC10 海里， BG BCcos3010 17(海里)12 3 DFG FGA DAG
14、90，四边形 ADFG 是矩形， DF AG AB BG25178(海里)在 Rt CDF 中， CFD90， DCF53， CD 10 海里， CF 6 海里，DFsin53 DFtan53 AD FG CG CF1064(海里)渔政船航行时间约为 (时)，12 1040 34捕鱼船的速度约为 4 5(海里/时)34答： C， D 两点间的距离约为 10 海里，捕鱼船的速度约为 5 海里/时7A 解析 过点 B 作 BD AC 于点 D，则 BD200 米， CBD45， ABD60.在 Rt BCD 中， BD CD200 米，在 Rt ABD 中， AD BDtam60200 米，3 A
15、C CD AD(200200 )米，动车的平均速度是(200200 )102020 3 3 20(1 )米/秒3 38(3010 ) 解析 如图，过点 B， C 分别作 BH EF， CK MN，垂足分别为3H， K，则四边形 BHCK 是矩形设 CK HB x 米 CKA90， CAK45， CAK ACK45， AK CK x 米， HC BK AK AB( x30)米， HD x3010( x20)米在 Rt BHD 中， BHD90， HBD30，tan30 ，即 ，HDHB 33 x 20x解得 x3010 .3河的宽度为(3010 )米399解：(1)由题意得 EAD45， FBD
16、30， EAC EAD DAC451560. AE BF CD， FBC EAC60， DBC30.又 DBC DAB ADB， ADB15， DAB ADB， BD AB2 km.即 B， D 之间的距离为 2 km.(2)如图，过点 B 作 BO DC，交其延长线于点 O.在 Rt DBO 中， BD2 km， DBO60， DO2sin60 (km)， BO2cos601(km)3在 Rt CBO 中， CBO30， CO BOtan30 km，33 CD DO CO km.2 33即 C， D 之间的距离为 km.2 3310B 解析 如图，延长 AB 交 ED 的延长线于点 M，过点
17、 C 作 CJ DM 于点 J，则四边形 BMJC 是矩形在 Rt CJD 中， ，设 CJ4 k 米， DJ3 k 米，则有 9k216 k24，CJDJ 10.75 43 k ，25 BM CJ 米， BC MJ1 米， DJ 米， EM MJ DJ DE 米85 65 46510在 Rt AEM 中，tan AEM ，AMEM1.6 ，解得 AB13.1(米)AB 8546511A 解析 如图，作 BM ED 交 ED 的延长线于点 M， CN DM 于点 N.在 Rt CDN 中， ，设 CN4 k， DN3 k， CD10 米，(3 k)2(4 k)CNDN 10.75 432100
18、， k2， CN8 米， DN6 米四边形 BMNC 是矩形， BM CN8 米，BC MN20 米， EM MN DN DE66 米在 Rt AEM 中，tan Etan24 ，0.45AMEM， AB21.7(米)8 AB6612210 解析 由题意得斜坡的高为 18354(cm)，由题意有 ，解得15 5460 ACAC210(cm)13解：如图，过点 A 作 AE CC于点 E，交 BB于点 F，过点 B 作 BD CC于点D，则 AFB， BDC， AEC 都是直角三角形，四边形 AA B F， BB C D 和 BFED 都是矩形， BF BB B F BB AA310110200
19、(米)，CD CC C D CC BB710310400(米) i112， i211， AF2 BF400 米， BD CD400 米又 EF BD400 米， DE BF200 米， AE AF EF800 米， CE CD DE600 米，在 Rt AEC 中， AC 1000 米AE2 CE2答：钢缆 AC 的长度是 1000 米14解：(1)如图，过点 E 作 EM AB 于点 M.11设 ME x 米， AMtan x 米， BMtan x 米 AB36 米，tan xtan x36，tan37 xtan24 x36，解得 x30， AE 37.5(米)MEcos37 300.80答
20、：点 A， E 之间的距离约是 37.5 米(2)如图，延长 EF 交 DG 于点 N. EF BG， EN DG，易知 GN BMtan243013.5(米)， DE CE， EF BC， DN GN13.5 米 DCG30， DEN30， EN (13.5 )米DNtan30 3斜坡 DF 的坡比为 1，3 ， DFN60，DNFN 3 EDF30， FN (13.5 )米，DNtan60 33 DF EF EN FN(13.5 )米，2 33 EF DF27 18 (米)2 33 3设施工队原计划平均每天修建 y 米根据题意，得 2，解得 y3 ，18 3y 18 31.5y 3经检验， y3 是方程的根且符合题意3答：施工队原计划平均每天修建 3 米3【关键问答】直角与方向角的差，直角与方向角的和，方向角的和或差，平行线的性质定理等坡角指的是坡面与水平面的夹角，坡度指的是坡角的正切值，即斜坡的垂直高度与水平宽度的比
