1、1长春外国语学校 2018-2019 学年第一学期期中考试高三年级数学试卷（理科）第卷1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“若 ，则 ”的否命题是（ ）4tan1A.若 ，则 B.若 ，则t4tan1C.若 ，则 D.若 ，则tan14ta42.下列四个方程中有实数解的是（ ）A. B. C. D.02x 13x 3.0x3x3.下列命题中，真命题是 （ ）A. B. sinco1.5xxR， (0)sincoxx， ，C. D.2， e1， ，4函数 的零点位于下列哪个区间（ ）3lg)(2xxfA. B. C. D.5
2、,),1()3,2()4,3(5.函数 在闭区间 上有最大值 3，最小值为 2， 的取值范围是（ 2xy,0mm）A. B. C. D.2,(2,02,1),16.若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是()yfx， ()fxgA. B C. D.01， 01)， 014， ， (01)，7.已知向量 a(1，1，0)， b(1，0，2)，且 ka b 与 2a b 互相垂直，则 k 的值是（ ）2A.1 B. C. D.15 35 758.设随机变量 服从正态分布 N(3,4)，若 P( a2)，则 a 的值为( )A B C5 D373 539.某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修
3、课 4 门，一位同学从中共选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （ ）A.30 种 B.35 C.42 D.48 种10.(1 x)8(1 y)4的展开式中 x2y2的系数是（ ）A.56 B.84 C.112 D.16811.设函数 f在 R上可导，其导函数为 fx，且函数 fx在 2处取得极小值，则函数 yxf的图像可能是（ ）A BC D12.已知函数 对任意的 满足 （其中 是函()yfx()2x， ()cos()in0fxfx()fx数 的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）()fxA. B. C. D.2()34f()34ff(0)2)3ff(0)2()4ff
4、第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.曲线 在点 处的切线方程为 .25xey(03)，314. . 0123C3Cnnn15.计算 = .lgl50g16.函数 是定义在 上的奇函数，且 ，对任意的 都有)(xfR0)2(f Rx成立， .)4(4ff(f17.已知 ，命题 对任意 ，不等式 恒成立，mR:p08x， 213log()3xm命题 存在 ，使不等式 成立:q2(0)3x， 2sinics(sinco)x(1)若 为真命题，求 的取值范围
5、；p(2)若 为假， 为真，求 的取值范围pqm18.已知直线 l：Error!( t 为参数)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求| MA|MB|的值319.如图，正方体的棱长为 1， ，求：BO（1） 与 所成角；AOC（2）求点 B 到与平面 的距离；（3）平面 与平面 所成的二面角 .ABAC20已知曲线 C： 1，直线 l：Error!( t 为参数)x24 y29(1)写出曲线 C 的参数方程，直
6、线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值EDBCAODACB421.前不久，省社科院发布了 2014 年度“安徽城市居民幸福排行榜” ，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城市” 随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取 16 名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福” ，求从这 16 人中随机选取 3
7、 人，至多有 1 人是“极幸福”的概率；(3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选 3 人，记 表示选到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学期望22.已知函数 xaxf ln)1()2（1）讨论函数 的单调性；（2）当 a时， kxf)(恒成立，求实数 k的取值范围.5参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D B C B D A A D C A二、填空题13. 14. 15. 2 16. 0035yxn4三、解答题17.(1)令 ，13()log()fx则 在 上为减函数，f，因为 ，所以当 时， 08
8、x， 8xmin()(8)2fxf不等式 恒成立，等价于 ，解得 213log()3m 3 12m (2)不等式 2sinicos2(sinco)xxx即 ， ，i()(i) 2(03，sinco2sin04xx所以 ， ，im 2()3， 0sin1x即命题 ： q0若 为假， 为真，则 中有且只有一个是真的pppq，若 为真， 为假，那么 ，则无解；q120m 若 为假， 为真，那么 ，则 或 p或 01m2综上所述， 或 01m218.(1) 2cos 等价于 22 cos .将 2 x2 y2， cos x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x0.(2)将Error!
9、代入，得 t25 t180，设这个方程的两个实根分别为 t1， t2，则3由参数 t 的几何意义即知，| MA|MB| t1t2|18.619. (1) ;(2) (3)63220.(1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的普通方程为 2x y60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为d |4cos 3sin 6|.55则| PA| |5sin( )6|，其中 为锐角，且 tan .dsin30255 43当 sin( )1 时，| PA|取得最大值，最大值为 ，2255当 sin( )1 时，| PA|取得最小值，最小值为 .25521.22.（1）函数 )(xf的定义域为 ),0(21)()2axafx当 a时， ()0fx，故 (f在 ),单调递增；当 时， f，故 )x在 0单调递减；当 10a时，令 ()f，解得 )1(2a当 )(2,x时， ()0fx， f在 )(,单调递增；7当 ),1(2ax时， ()0fx在 ),1(2a单调递减（2）因为 0，所以当 1时， kxf恒成立 kxlnxln1令 xhln)(，则 maxhk，因为 2l，由 2ln()0得 1，且当 )1,0(x时， ()0hx；当),1(x时， 0hx所以 )x在 ,(上递增，在 上递减所以 ma，故 1k
