1、12.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导与应用一本节教学分析第一课时，师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式，公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法， “错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别” ，从而达到化简的目的.等比数列前 n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得 qaan12321.,再由分式性质，得 qSn1,整理得 )1(Snn.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.第二课时，在师生共同分析探究了等比数列的前 n 项和公式，从多种角度探索了等比数列前 n 项和公式的推导方法，在此基
2、础上，这节课会进一步将等比数列前 n 项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能.等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知 a1,an,q,n,Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.求数列前 n 项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问
3、题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能.教材例题 3 设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地
4、安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.1 三维目标（1）知识与技能了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；探索并掌握等比数列前 n项和公式；体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，利用公式知三求一；用等比数列前 n 项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算
5、问题；2将等比数列前 n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题（2）过程与方法采用观察、思考、启发、引导、分析、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会，发挥学生的主体作用；进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练。（3）情感态度与价值观通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；通过数学本身知识的演绎推理和运算，提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能力；在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中
6、了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观，通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 2 教学重点 （1）等比数列前 n 项和公式的推导；等比数列前 n 项和公式的应用。（2）运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题3 教学难点（1） 等比数列前 n 项和公式的推导；（2）运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题4 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等教学建议 等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知 a1,an,q,n,Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的
7、两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.求数列前 n 项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也
8、能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能.教材例题 3 设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识.二课时安排2 课时三教学过程第 1 课时导入新课师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言.师 “请在第一个格子里放上 1
9、 颗麦粒，第二个格子里放上 2 颗麦粒，第三个格子里放上 43颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师 假定千粒麦子的质量为 40 g，按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生 各持己见.动笔，列式，计算.生 能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+263=?师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+2 63=?师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它
10、的首项是 1，公比是 2，求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前 64 项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记 S=1+2+22+23+2 63，式中有 64 项，后项与前项的比为公比 2，当每一项都乘以 2 后，中间有 62 项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+2 63,2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=2 64-1.264-1 这个数很大，超过了 1.8410 19，假定千粒麦子的质量为 40 g，那么麦粒的总质量超过了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨，因此，国王不能实现
11、他的诺言.师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课合作探究师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+qn=？师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 若将上式左边的每一项乘以公比 q，就出现了什么样的结果呢？生 q+q 2+qn+q n+1.生 每一项就成了它后面相邻的一项.师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索：如果记 Sn=1+q+q2+qn,那么
12、qSn=q+q2+qn+q n+1.要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n=1-qn.师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意 q 的取值.生 如果 q1，则有 qn1.师 当然，我们还要考虑一下如果 q1 问题是什么样的结果.4生 如果 q1，那么 Sn=n.师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a2+a3+an=？教师精讲师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“
13、错位相减法”.如果记 Sn=a1+a2+a3+an,那么 qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n=a1-anq.师 再次提醒学生注意 q 的取值.如果 q1，则有 nn1.师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么 qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n=a1-a1qn.如果 q1，则有 )(1.师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是
14、等比数列的五个基本量： a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn四个；后者出现的是 a1,q,Sn,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果 q1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比 q1 时，我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果 q1 问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流.生 如果 q1，S n=na1.师 完全正确.如果 q1，那么 Sn=nan.正确吗？怎么解释？生 正确.q1 时，等比数列的各项相等，它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍.
15、师 对了，这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：合作探究思路一：根据等比数列的定义，我们有： qaan13421.,再由合比定理，则得 qan13214.,5即 qaSn1,从而就有(1-q)S n=a1-anq.(以下从略)思路二：由 Sn=a1+a2+a3+an得Sn=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(Sn-an),从而得(1-q)S n=a1-anq.(以下从略)师 探究中我们们应该发现，S n-S n-1 =an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，
16、n 的取值应该满足什么条件？生 n1.师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n-S n-1=an， n1.师 综合上面的探究过程，我们得出： 1,)(1qann或者 1,1qan例题剖析【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和：(1) 21, 4,8,；(2)a1=27,a9= 3,q0.合作探究师生共同分析：由(1)所给条件，可得 21， q,求 n8 时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从 439a中获取求和的条件，才能进一步求 n8 时的和.而 a9=a1q8，所以由条件可得 q8= 1 = 27，再由 q0，可得 31，将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答：(
17、1)因为 21a,q，所以当 n8 时， 2561)(88S.(2)由 a1=27, 439，可得 2743198a，又由 q0，可得 ,6于是当 n8 时， 81640)3(1278S.【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知 Sn=30 000求 n 的问题.生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，
18、从今年起，每年销售量组成一个等比数列 an，其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到 30.1)(50,整理得 1.1n=1.6,两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6,用计算器算得 1.lg6 042.5(年).答：大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台.练习：教材第 66 页，练习第 1、2、3 题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前 n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量，一般需要知道其中的 3 个，才能求出另外一个量.另外应该注
19、意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意 q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.第 2 课时教学过程导入新课师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗？生 根据自己所知道的，说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解)师 出示投影胶片 1：银行关于教育储蓄的管理办法(节选)管理办法第七条 教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为 50 元，本金合计最高限额为 2 万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额，分月存入，中途如有漏存
20、，应在次月补齐，未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关7规定办理.第八条 教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息；六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息.第十一条 教育储蓄逾期支取，其超过原定存期的部分，按支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.第十二条 教育储蓄提前支取时必须全额支取，提前支取时，储户能提供“证明”的，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税；储户未能提供“证明”的，按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税
21、.师 着重引导学生注意关键的内容.生 理解文件中的内容.师 这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题，其中大部分的计算都是用数列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容.推进新课例题剖析师 出示投影胶片 2：课本第 70 页 B 组题第 4 题：例 1 思考以下问题：(1)依教育储蓄的方式，每月存 50 元，连续存 3 年，到期(3 年)或 6 年时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每月存 a 元，连续存 3 年，到期(3 年)或 6 年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每月存 50 元，连续存 3 年，到期(3 年)时一次可支取本息比同档次的“零存整
22、取”多收益多少元？(4)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元，每月应存入多少元？(5)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元，每月应存入多少元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存 100 元，连续存 6 年，可是到了 4 年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育储蓄方式，原打算每月存 a 元，连续存 6 年，可是到了 b 年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存 100 元，6 年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.合作探究师 要解决上
23、面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：若每月固定存 a 元，连续存 n 个月，则计算利息的公式为 2)1(na月利率.师 你能解释这个公式的含义吗？生 独立思考、合作交流、自主探究.师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为 q，则这个公式实际上是数列： aq,2aq,3aq,naq,的前 n 项和.这个数列的项不正是依次月数的利息数？这个数列具有什么特征呢？生 发现等差关系.师 用我们的数学语言来说，这是个首项为 aq，公差为 aq 的等差数列，而不是一个等比数8列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(
24、利生息利滚利)计算的.我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息利不滚利)计算.这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月利率为 0.21%；五年整存整取存款年利率为 2.79%，月利率为 0.232 5%；三年期零存整取存款年利率为 1.89%，月利率为 0.157 5%；利息税率为 20%.师 下面我们来看第一个问题的结果.生 计算，报告结果.师 生共同解答：(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为 2.
25、52%，月利率为 0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存 50 元，连续存 3 年，到期一次可支取本息共26)50(0.21%+1 8001 869.93(元).因为五年整存整取存款年利率为 2.79%，月利率为 0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存 50 元，连续存 6 年，到期一次可支取本息共7)(0.232 5%+3 6003 905.50(元).(2)每月存入每月存 a 元，连续存 3 年，到期一次可支取本息共23)6(a0.21%+36a(元).若每月存入每月存 a 元，连续存 6 年，到期一次可支取本息共7)(0.232 5%+72a(元).(3)因为三年期零存整
26、取存款年利率为 1.89%，月利率为 0.157 5%，故每月存 50 元，连续存 3 年，到期一次可支取本息共 26)50(0.157 5%80%+1 800=1 841.96(元).比教育储蓄的方式少收益 27.97(元).(4)设每月应存入 x 元，由教育储蓄的计算公式得3)(x0.21%+36x10 000.解得 x267.39(元)，即每月应存入 267.39(元).(5)设每月应存入 x 元，由教育储蓄的计算公式得26(x0.21%+36x10 000 a.解得 x= 398.710a =267.39a，即每月应存入 267.39a(元).(6)根据银行出台的教育储蓄管理办法 ，需
27、要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所9得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月利率为 0.21%进行计算.由计算公式得 248)10(0.21%+4 8005 046.96(元).(7)与第 6 小题类似，应根据实际存期进行同档次计算.一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为 1.98%，月利率为0.165% ，故当 b=1 或 2 时，由计算公式得21)(a0.165%+12ab(元).当 b=3 或 4 或 5 时，应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%，月
28、利率为 0.21%进行计算.根据计算公式得 )(b0.21%+12ab(元).(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案.概括总结师 在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议.从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与
29、生产实际与社会生活紧密的结合起来.说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由.师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.出示投影胶片 3：例 2 你能估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积吗？出示多媒体图片 1：师 如图，为了估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积 x，把 x轴上的区间0，3分成 n 等份.从各分点作 y 轴平行线与图象相交，再从各
30、交点向左作 x轴平行线，构成( n-1)个矩形.下面用程序来计算这( n-1)个矩形的面积的和 S.SUM=0K=1INPUT 请输入将0，3分成的份数 n：”; NWHILE k= N-110AN=(9-(k*3/ n)2)*3/NSUM=SUM=ANPRINT k, AN,SUMK=k=1WENDEND阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的 AN，SUM 分别表示什么，为什么？(2)请根据程序分别计算当 n6，11，16 时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序). 师 你能回答第一个问题吗？生 AN 表示第个矩形的面积，SUM 表示前个矩形面积的和.生 当把 x 轴上的区间0，3分
31、成 n 等份时，各等份的长都是 n3.理由是：各分点的横坐标分别是 n, 2 , n)1(.从各分点作 y 轴平行线与 y=9-x2图象相交，交点的纵坐标分别是2)3(9, 2)( , 2)1(39n.它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是 n)(2, )(2, n3)1(32.师 对学生的思考给予高度的赞扬.师 当我们把 x 轴上的区间0，3分成 n 等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域内的 n-1 个矩形.师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前 n-1 项和如何求.生 自主探究.列式： nnnSn 3)1(39
32、.)23(9)3(9 221 = )(.)()( 222= )1(.1)3(9322nnn.师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.师 求和时遇到了 12+22+n2的计算问题，这也是一个求数列前 n 项和的问题.关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：1 2,22,32,n2,的前 n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前 n项和公式与等比数列前 n 项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式.11即要求记住：1 2+22+n2= 6)1(.关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学
33、习.师 运用这个公式，请把上面的 n-1 个矩形面积的和计算出来.生 继续运算.Sn-1= 3 9(n-1)-( 3)21 2+22+(n-1)2= 9( n-1)-( )2 6)(= 234(9.师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第 2 小题的含义并得出结果.师 根据程序，当 n6 时，5 个矩形的面积的和就是输入 N6，SUM 的最后一个输出值,SUM=15.625.那么当 n11 时，10 个矩形的面积的和就是 N11 时，SUM 的最后一个输出值，即SUM=16.736 ；当 n=16 时，我们就得到 15 个矩形面积的和 SUM=17.139.当 n=17 时，SUM 的最
34、后一个输出值是多少？生 n=17 时，SUM 的最后一个输出值 SUM=17.190.师 你是怎么计算 n=17 时，SUM 的最后一个输出值的呢？生 是用上面推导出来的计算公式： 21)134(9nSn.当 n=500 时，SUM 的最后一个输出值 SUM=?当 n=1 000 时，SUM 的最后一个输出值 SUM=?生 用公式 21)134(9nSn，不难算出 n=500 时，SUM=17.973； n=1 000 时，SUM=17.986. 师 在计算 n=500 与 n=1 000 时的最后一个输出值 SUM 时，为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢？师 这是因为公式 21)
35、134(9nSn用起来很方便，只要给出上一个 n 的值，就可以代入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给定的 n，都要从 k=1 依次循环到 k=N-1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事.师 至此，你能估计出函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积了？生 由 n=500 与 n=1 000 时的最后一个输出值 SUM，可以估计，这个面积大约是 18.师 一个非常准确的结果！教师精讲师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：121.本例中，程序使用了 Sn的递推公式，即 )1(,1naSn这个递推
36、公式的推导，同学们可以自己去思考一下；2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第 n 项的办法，即)1(,1Sann3.关于估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即0，3区间分得越细，前 k 个矩形面积的和 SUM 就越接近函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得 x18，而我们的估计值也是 18，可见我们的估计非常准确.课堂小结本节学习了如下内容：1.教育储蓄中的有关计算.2.用计算机程序计算数列的和.
