1、12.3.3 平面向量的坐标运算 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将 数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后, 向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数 ,使得a=b,那么
2、 a 与 b 共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问 题、解决问题的能力。3 情感态度与价值观：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。三、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.四、教学设想（一）导入新课思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么
3、我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直 线的平行是一种重要的关系.关于 x、y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路 2.对于平面内的任意向量 a,过定点 O 作向量 A=a,则点 A 的位置被向量 a 的大小和方向所唯一确定.如果以定点 O 为原点建立平面直角坐标系,那么点 A 的位置可通过其坐标来反映,从而向量 a 也可以用坐标来表示, 这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来
4、,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出 a+b,a-b,a 的坐标表示吗?如图 1,已知 A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示 AB的坐标？你能在图中标出坐标为 (x2-x1,y2-y1)的 P 点吗?标出点 P 后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图 1
5、2a+b=(x1+y 1j)+(x2+y 2j)=(x1+x2)+(y 1+y2)j,即 a+b=(x1+x2,y1+y2).同理 a-b=(x1-x2,y1-y2).又 a=(x 1+y 1j)=x 1+y 1j.a=(x 1,y 1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量 AB平移,使得点 A 与坐标原点 O 重合,则平移后的B 点位置就是 P 点.向量 AB的坐标与以原点为始点 ,点 P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建
6、立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量 的模与向量 O的模是相等的 .由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:| AB|=|OP|= 2121)()(yx.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:能. AB= - =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题如何用坐标表示两个共线向量?若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么 21xy是向量 a、b 共线的什么条件?活动:教师引导
7、学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处 教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b0.我们知道,a、b 共线,当且仅当存在实数 ,使 a=b.如果用坐标表示,可写为(x 1,y1)=(x 2,y2),即 .,21yx消去 后得 x1y2-x2y1=0.这就是说,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时向量 a、b(b0)共线.又我们知道 x1y2-x2y1=0 与 x1y2=x2y1是等价的,但这与 21xy是不等价的.因为当 x1=x2=0 时,x 1y2-x2y1=0 成立,但 21均无意义.因此 21是向量 a、b 共线的充分不必要
8、条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:x 1y2-x2y1=0 时,向量 a、b(b0)共线.充分不必要条件.提出问题a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 使得 a=b,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？3活动:教师引导推证:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 ba,由 a=b,(x 1,y1)=(x 2,y2) .,21yx消去 ,得 x1y2-x2y1=0.讨论结果:ab(b0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1消去 时不能两式相除,y 1、y 2有可能为 0,而 b0,x 2
9、、y 2中至少有一个不为 0.2充要条件不能写成 21x(x 1、x 2有可能为 0).3从而向量共线的充要条件有两种形式:ab(b0) .0121yxba（三）应用示例思路 1例 1 已知 a=(2,1),b=(-3,4),求 a+b,a-b,3a+4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-
10、1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007 海南高考,4) 已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 21a 3b 等于( )A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)答案:D2.(2007 全国高考,3) 已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),则 a 与 b( )A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向答案:A图 2例 2 如图
11、 2,已知 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点 D 的 坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量 O的坐标,进而得到点 D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点 D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图 2,设顶点 D 的坐标为(x,y).4 AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由
12、AB=DC,得(1,2)=(3-x,4-y). .42,31x .2,yx顶点 D 的坐标为(2,2).方法二:如图 2,由向量加法的平行四边形法则,可知 BCAB=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而 O= + =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),顶点 D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图 3如图 3,已知平面上三点的坐标分别为 A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为 ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为 A
13、CDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为 DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例 3 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A、B、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关 系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出 A、B、C 三点,观察图形,我们猜想 A、B、C 三点共线.下面给出证明. AB=(1-(-1),3
14、-(-1)=(2,4), =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又 26-34=0, ,且直线 AB、直线 AC 有公共点 A,A、B、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知 a=(4,2),b=(6,y),且 ab,求 y.解:ab,4y-26=0.y=3.思路 2例 2 设点 P 是线段 P1P2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y1)、(x 2,y2).(1)当点 P 是线段 P1P2的中点时,求点 P 的坐标;5(2)当点
15、 P 是线段 P1P2的一个三等分点时,求点 P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当 21P= 时,点 P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由 P1= 2,知(x-x 1,y-y1)=(x 2-x,y2-y),即 .1,)(221 yxyyxx这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要 品质.时间允许的话,可以探索 的取值符号对 P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图 4解:(1)如图 4,由向量的线性运算可知OP= 21 ( 1+ 2)=( .
16、2,11yx).所以点 P 的坐标是( .,121)(2)如图 5,当点 P 是线段 P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即 21P= 或 21=2.如果 21= ,那么图 5OP= 1+ = 1P+ 32= + 3( 2- )6= 321OP+ 2=( 3,1yx).即点 P 的坐标是( 32,11yx).同理,如果 21=2,那么点 P 的坐标是 .32,11yx点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在ABC 中,已知点 A(3,7)、B(-2,5).若线段 AC、BC 的中点都在坐标轴上,求点 C 的坐标.解:(1)若 AC 的中点在 y 轴上,则
17、BC 的中点在 x 轴上,设点 C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得 ,0253yx=-3,y=-5,即 C 点坐标为(-3,-5).(2)若 AC 的中点在 x 轴上,则 BC 的中点在 y 轴上,则同理可得 C 点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知 C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例 2 已知点 A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点, OP= A+t B.若点 P 在第二象限,求实数 t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生
18、到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知 AB=(4,5)-(1,2)=(3,3). OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点 P 在第二象限,则 312031tt故 t 的取值范围是( 2, ).点评:此题通过向量的坐标运算,将点 P 的坐标用 t 表示,由点 P 在第二象限可得到一个关于 t 的不等式组,这个 不等式组的解集就是 t 的取值范
19、围.变式训练已知 OA=(cos,sin), OB=(1+sin,1+cos),其中 0,求| AB|的取值范围.解: B= - =(1+sin,1+cos)-(cos,sin)=(1+sin-cos,1+cos-sin).| A|2=(1+sin-cos) 2+(1+cos-sin) 27=1+(sin-cos) 2+1-(sin-cos) 2=2+2(sin-cos) 2=2+2(1-2sincos)=4-4sincos=4-2sin2.0,022.从而-1sin21.4-2sin22,6.故| AB|的取值范围是 2, 6.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.（五）作业
