1、合情推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学过程一、引入新课1 归纳推理(一)什么是归纳推理归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。拿任何一种草药来说吧，人
2、们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。 ”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，
3、从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推
4、理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。(三)观察与实验归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则
5、必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的方法。1观察人们在对象或现象的自然状态下，有目的地通过感官去研究对象或现象，这就叫做观察。为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确，还应注意两个问题：(1)必须坚持观察的客观性和全面性，切忌主观的随意性和片面性。(2)尽可能地借助于有关的仪器设备来进行，以克服感觉器官认识的局限性。2实验人们在控制对象或现象的条件下有目的地通过感官去认识对象或现象，就叫做实验。具体而言，实验是人们根据研究的目的，利用科学方法、设备，人为地控制或模拟自然现象的条件，排除干扰因素，突出主要因素，在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。例如，要研究某一植物在某种条件下对具有一
6、定酸碱度的土壤的适应情况， 人们可以在实验室中，人为地控制大自然对植物生态的影响，只就酸碱度这一特定的因素进行考察。实验是自然科学研究中最基本的研究方法。它和观察比较起来有以下优点：(1)实验可根据研究工作的需要，使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来，并借助于人工的隔离条件，使其依照一定的顺序，不断地重复出现。这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。例如，我们看见铁球与鸡毛从塔顶上同时往下落，在空气中它们下落的速度是不一样的。这与空气有关还是无关?这是由于空气的阻力作用还是由于地球的引力作用呢？在自然状态下，由于许许多多的对象或现象错综复杂地交织在一起，我
7、们是不能弄清楚这些问题的。为此，我们可以做“自由落体”的实验：把铁球和鸡毛都放在抽掉空气的圆筒形的透明容器中，看它们从同一高度同时下落的速度是否一样。这样，就容易发现铁球与鸡毛在空气中下落的速度不一样与空气阻力作用的关系。在这个 实验中，我们人为地抽掉了空气这个因素，排除偶然因素的干扰， “纯化”了被研究的现象。(2)可以把容易消失的自然现象或在自然条件下不易出现的自然现象，人为地引发出来，并使之重复出现，以便于人们进行观察。例如，天空中的闪电，一闪即逝，不易观察出究竟来。我们在物理实验室里可以采取人工模拟的办法，引发闪电现象的重复出现，以便反复地进行观察。(四)一些整理经验材料的方法在搜集材
8、料的过程中，还要对材料进行整理和研究。也就是说，人们还要对经验材料进行思维加工，这就需要运用理论思维的方法，即比较、分析和综合等等。1比较法比较法是在思维中用以确定对象之间相同点和相异点的逻辑方法。比较法的基本功用是辨同和别异。在进行比较时，必须注意以下几点：首先，必须在同一关系下进行比较。比如，一个国家在使用旧货币时期的物价与币制改革后使用新货币时的物价，就不能直接地加以比较。其次，要就对象的实质方面进行比较，不要因某种表现上的相同，而忽略实质上的差异；也不要因表面上的差异，而忽略实质上的相同。2分析法与综合法分析是在思维中把对象的整体分解为各个部分、方面、特性和因素而加以认识的逻辑方法；综
9、合是在思维中将已有的关于对象的各个部分、方面、特性和因素的认识联结起来，形成关于对象的统一整体的认识的逻辑方法。分析是综合的基础，而综合则是分析的发展。(五)完全归纳推理和不完全归纳推理1完全归纳推理先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星
10、、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S 表示事物，P 表示属性)，S1PS2PSnP(S1,S2Sn 是 S 类的所有分子)所以，SP从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是
11、根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。2不完全归纳推理不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如：内经针刺篇记载了这样一个故事：有一个患 头痛的樵夫上
12、山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)。现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的：第一次碰破足趾某处，头痛好了，第二次碰破足趾某处，头痛好了，(没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。)所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好
13、，如用公式表示则是：S1PS2PSsPSnP(S1，S2，Ss，Sn 是 S 类部分对象，枚举中未遇相反情况。)所以，SP这种仅仅根据在考察中没有碰到相反情况而进行的不完全归纳推理，我们就称为简单枚举归纳推理或简称枚举归纳推理。第二种情况。不是对某类事物的部分对象，碰到哪个就考察哪个(简单 枚举归纳 推理就是如此)，而是按照事物本身的性质和研究的需要，选择一类事物中较为典型的个别对象加以考察；通过这种对部分对象的考察而作出某种一般性的结论时，也不只是根据没有碰到例外相反的情况，而是分析和发现所考察过的某类事物的部分对象何以具有某种性质的客观原因和内在必然性。建立在这种对事物进行科学分析基础上的
14、不完全归纳推理，我们就称之为科学归纳推理。两种不完全归纳推理的根据是完全不同的，因而它们所得出结论的性质也是不同的。简单枚举归纳推理所依据的仅仅是没有发现相反的情况，而这一点对于作出一个一般性的结论来说，是必要的，但并不是充分的。因为，没有碰到相 反的情况，并不能排除这个相反情况存在的可能性。而只要有相反情况的存在，无论暂时碰到与否，其一般性结论就必然是错的。科学归纳推理则不同，它所根据的是对事物何以存在某种性质的必然原因进行科学的分析，因而它的结构是比较可靠的。(六)探求因果联系的逻辑方法排除归纳法是求因果联系的一个常用方法，其基本思路是：考察被研究现象出现的一些场合，在它的先行现象或恒常伴
15、随的现象中去寻找它的可能的原因，然后有选择地安排某些事例或实验，根据因果关系的上述特点，排除一些不相干的现象或假设，最后得到比较可靠的结论。为了检查的某种因果关系是否为真，最可靠的实验方法是改变原因后，看结果是否不同，即进行对比实验，对比实验的关键是让实验对象的其他方面的条件相同。又比如，有时两组数据之间的数据因果并不一定有原理因果，可能两组数据都是由其它某一种数据决定的，这就是所谓表面因果与事实因果不符。、现象间的因果联系客观世界是一个有内在联系的统一整体，其中各个对象或各个现象是互相密切联系着，互相依赖着，互相制约着的。因果联系是指原因和结果之间的联系。如果一个现象的出现必然引起另一个现象
16、的出现，那么，这两个现象之间就有着因果联系。引起另一现象出现的现象叫原因，被引起的现象叫结果。因果联系是世界万物之间普遍联系的一个方面，科学研究的一个重要任务就是要把握事物之间的因果联系，以便掌握事物发生、发展的规律。因果关系的主要特点有：一是普遍必然性，指任何现象都有其因，也有其果，且同因必同果，但同果却不一定同因；二是共存性，指原因和结果总是共同变化的；三是先后性，即所谓的先因后果，但先后关系并不等于因果关系；四是复杂多样性，指因果联系是多种多样的，固然有“一因一果” ，但更多的时候是“多因一果” 。原因和结果在时间上是先后相继的，原因总在结果之前，而结果总是在原因之后。因此，我们在探求因
17、果联系时，只能从先行的情况中去找原因，从后行的情况中去找结果。不过需要注意的是：两个现象在时间上的先后相继并非都存在着因果联系。例如，白昼和黑夜，在时间上虽是先后相继的，但它们之间并不具有因果联系，它们都是由于地球自转和绕太阳旋转所引起的结果。因此，在探求因果联系时，如果只是根据两个现象在时间上是先后相继的，就作出它们之间具有因果联系的结论，那么，这就犯了“以先后为因果”的逻辑错误。因果联系是完全确定的。在同样的条件下，同样的原因必然产生同样的结果。例如，在通常的大气压力的条件下，把纯水加热取摄氏一百度，它就必然会产生气化的结果。因果联系是复杂的多样的。一个现象的产生，可以是一个原因引起的，也
18、可以是多种原因引起的。例如，日光、二氧化碳和水是使植物叶子能进行光合作用的原因，而这三者则是植物的叶子能进行光合作用的不可缺少的条件，这种原因叫做复合原因。忽视原因的多样性，在实践上会导致有害的后果。例如，一块地里的农作物生长不好的原因，可以是水分不足，也可以是肥料太少，也可以是病虫害等等。如果我们忽略了原因的多样性，只注意一种原因，比如，只注意施肥料，那就可能会导致减产的后果。因此，人们在探求因果联系时，特别应当注意复杂现象的构成原因或结果。、探求现象间因果联系的方法1.求同法(或称契合法)我们常常发现一些同志身体很好，很结实。原因是什么呢?他们的情况各不相同，有的是教师，有的是学生，有的是
19、工人；有的原来体质较好，有的原来体质较差；他们的工作条件、生活条件、学习条件也各不相同。但发现他们却有一个共同的情况，他们都持之以恒地锻炼身体。由此，我们可以作出结论，持之以恒地锻炼身体是他们身体好的原因，至少是身体好的部分原因。这里就有着求同法的应用。可见，求同法是这样一种方法，当我们发现某一现象出现在几种不同的场合，而在这些场合里，只有一个条件是相同的(其他条件均不相同)，这样，我们就可以推断说，这个相同条件就是各个场合出现的那个共同现象的原因。可以用这样一个公式来表示它：场合 先行情况 被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a 所以，A 是 a 的原因
20、(或结果)下面再举两个求同法的例子：例：在十九世纪，人们还不知道为什么某些人的甲状腺会肿大，后来人们对甲状腺肿大盛行的地区进行调查和比较时发现，这些地区的人口、气候、风俗等状况各不相同，然而有一个共同情况，即土壤和水流中缺碘，居民的食物和饮水也缺碘，由此作出结论：缺碘是引起甲状腺肿大的原因。例：某人晚上看了两小时书，喝了几杯浓茶，结果失眠了；第二天他同样看书，抽了许多烟，也失眠了；第三天他也看了两小时书，喝了大量咖啡，也失眠了。看来晚上看书容易引起失眠。应用求同法所得到的认识(即找出的原因)并不都是正确的。因为在各种不同场合里存在的共同条件可能不止一个，而作为真正原因的某一共同条件可能正好被忽
21、视了。因此，通过求同法所得到的认识，应当通过实践或用其他方法去进一步检验。但是，求同法为我们提供了找到现象原因的线索。所以，它作为一种发现现象因果联系的方法，在科学研究和日常生活中经常被人们应用着。2.求异法(或称差异法)求异法是这样一种方法：如果某一现象在一种场合下出现，而另场合下不出现，但在这两种场合里，其他条件都相同，只有一个条件不同(在某现象出现的场合里有这个条件，而在某现象不出现的那一场合里则没有这个条件)，那么，这唯一不同的条件，就是某现象产生的原因。求异法可用下述公式来表示：场合 先行情况 被研究现象(1) A、B、C a(2) -、B、C -所以，A 是 a 的原因(或结果)求
22、异法在科学研究中，特别是科学试验中，是一种被广泛运用的方法。下面举例说明：据报导，在一些国家里，大气污染极为严重，不仅严重影响人们的身体健康，也影响农作物的产量和 树木的成长，如使白杨树提早落叶等等。有一个国家的研究人员曾在环境暴露室中的两间实验室里做过下面的一个实验：将大气中被污染的空气放入一间实验室里，而在另一间的入气孔上装上活性碳过滤器等清除污染物的装置，使送入的空气变为洁净的空气。两间实验室中的土壤、水分、湿度、日照时间等与植物生长有关的其他条件完全相同。在两间实验室里，分别栽上同样的白杨十五株。四个月之后，在空气洁净的实验室里，十五株白扬新长出的茎平均高二米九五，而在污染室中，新茎的
23、平均高度只有二米零九；叶数前者平均为七十一片，后者仅为二十六片。而且，前者在九月上旬叶子还在继续生长，而后者在八月初即开始落叶。这清楚表明：白杨树提早落叶的原因是大气污染。我们可以在种植同一作物的同一块田上，一部分用某种肥料，一部分不用。因此，就可以清楚地通过作物的不同增产结果来判明施放这种肥料后的显著效果。3.求同求异并用法求同求异并用法是这样一种方法，考察两组事例，一组是由被研究现象出现的若干场合组成的，称之为正事例组；一组是由被研究现象不出现的若干场合组成的，称之为负事例组。如果在正事例组的各场合中只有一个共同的情况并且它在负事例组的各场合中又都不存在，那么，这个情况就是被研究现象的原因
24、。下面是求同求异并用法的一个例子：很久以来，人们发现有些鸟能远航万里而不迷失方向。原因是什么呢?人们对此曾作过不少的猜测，但都没有得到证实。近年来，科学工作者发现每当天晴能见到太阳时，这些鸟都能确定其飞行的正确方向；反之，每当天阴见不到太阳时，它们就迷失方向。由此，科学工作者作出结论说，有些鸟能远航万里而不迷失方向的原因是利用太阳来定向的。4.共变法共变法是指：在其他条件不变的情况下，如果一个现象发生变化，另一个现象就随之发生变化，那么，前一现象就是后一现象的原因或部分原因。比如，气温上升了，放置在器皿中的水银体积就膨胀了；气温下降了，水银体积就缩小了。根据气温与水银体积的共变关系，我们就可推
25、断说，气温的升降是水银体积膨胀或收缩的原因。共变法可用下述公式来表示：场合 先行情况 被研究现象(1) A1、B、C、D a1(2) A2、B、C、D a2(3) A3、B、C、D a3 所以，A 是 a 的原因(或结果)下例也是共变法的应用：地区磁场发生磁暴的周期性经常与太阳黑子的周期一致。随着太阳黑子数目的增加，磁 暴的强度增大。当太阳黑子的数目减少时，磁暴的强度降低。所以科学家推测，太阳黑子的出现可能是磁暴的原因。在 50 年代，我国森林覆盖率为 19，60 年代为 11，70 年代为 6，80 年代不到4。随着森林覆盖率的逐年减少，植被大量破坏，削弱了土地对雨水的拦蓄作用，一下暴雨，水
26、卷泥沙滚滚而下，使洪涝灾害逐年严重。可见，森林资源的破坏，是酿成洪灾的原因。以下哪项使用的方法与上文最类似?A、敲锣有声，吹箫有声，说话有声。这些发声现象都伴有物体上空气的振动，因而可以断定物体上空气的振动是发声的原因。B、把一群鸡分为两组，一组喂精白米，鸡得一种病，脚无力，不能行走，症状与人的脚气病相似。另一组用带壳稻米喂，鸡不得这种病。由此推测带壳稻米中某些精白米中所没有的东西是造成脚气病的原因。进一步研究发现，这种东西就是维生素 B1。C、意大利的雷地反复进行一个实验，在 4 个大口瓶里，放进肉和鱼，然后盖上盖或蒙上纱布，苍蝇进不去，一个蛆都没有。另 4 个大口瓶里，放进同样的肉和鱼，敞
27、开瓶口，苍蝇飞进去产卵，腐烂的肉和鱼很快生满了蛆。可见，苍蝇产卵是鱼肉腐烂生蛆的原因。D、在有空气的玻璃 罩内通电击铃，随着抽出空气量的变化，铃声越来越小，若把空气全抽出，则完全听不到铃声。可见，声音是靠空气传播的。解题分析 正确答案：D因为 D 和题干都使用求因果联系的共变法。 5.剩余法所谓剩余法指的是：如果某一复合现象是由另一复合原因所引起的，那么，把其中确认有因果联系的部分减去，则剩下的部分也必然有因果联系。自然科学史上有这样一个例子：1846 年前，一些天文学家在观察天王星的运行轨道时，发现它的运行轨道和按照已知行星的引力计算出来的它应运行的轨道不同发生了几个方面的偏离。经过 观察分
28、析，知道其他几方面的偏离是由已知的其他几颗行星的引力所引起的，而另一方面的偏离则原因不明。这时天文学家就考虑到：既然天王星运行轨道的各种偏离是由相关行星的引力所引起的，现在又知其中的几方面偏离是由另几颗行星的引力所引起的，那么，剩下的一处偏离必然是由另一个未知的行星的引力所引起的。后来有的天文学家和数学家并据此推算出了这个未知行星的位置。1846 年按照这个推算的位置进行观察，果然发现了一颗新的行星海王星。在这个过程中就有剩余法的明显运用。就这个例子来说，复合现象指天王星运行轨道的各处偏离(设为甲、乙、丙、丁四处偏离)，复合原因指各行星对天王星的引力(设为A、B、C、D 四颗行星)，通过观察，
29、已经知道偏离甲由行星 A 所引起，偏离乙由行星 B 所引起，偏离丙由行星 C 所引起。那么剩下的部分，即偏离丁必为未知行星 D 所引起。剩余法可用下述公式来表示：已知复合现象 F(A、B、C)是被研究现象 K(a、b、c)的原因已知，B 是 b 的原因C 是 c 的原因所以，A 是 a 的原因(或部分原因)剩余法也是科学研究中常用的一种逻辑方法。比如：居里夫人对镭的发现就是运用这一方法的又一典型例子。居里夫人在对沥青铀矿的实验研究中，发现它所放出的射线比纯铀放出的强得多，纯铀不足以说明这种复杂现象，还有一个剩余部分，这剩余部分必然还有另外的原因(这原因必然存在于沥青铀矿中)。据此，她再反复研究
30、，后来果然发现在沥青铀矿中还有一种新的放射性元素镭。对求因果联系的方法现再举一例说明，请认真体会：有人作过一个十分有趣的统计：过去几百年间流传至今的 466 幅圣母玛利亚的画像中，有 373 幅里的耶苏是在左边吸吮圣母的乳汁的，这一数字大约是全部被统计画幅的 80%左右。艺术是生活的概括，如果你稍微注意的话，就会发现，大多数母亲喂奶时，也是把婴儿抱在自己的左边。据心理学家统计，80%的母亲都是把婴儿抱在左边的。为什么会这样？为此，有个心理学家做了以下的两个实验：一个实验是让一些婴儿间断地听每分钟 72 次心跳录音。结果发现，这些婴儿在不听录音时啼哭时间是 60%，而在听录音时，就比较安静，啼哭
31、的时间降至 38%。另一个实验是任选四组婴儿，每组人数相同，把他们放在声音环境不同的房间里。第一个房间保持寂静；第二个房间放催眠曲；第三个房间放模拟的心跳声；第四个房间放真实的心跳声的录音。用这样的方法，试验一下哪一个房间的婴儿最先入睡。结果是第四个房间的婴儿，只用了其他房间中婴儿入睡所需时间的一半，就进入梦乡。然后依次是第三个房间、第二个房间、第一个房间里的婴儿先后入睡。这个实验不但证明心跳声是一种有很强镇静作用的外界刺激，而且表明模拟的心跳声的效果不如真的心跳声的效果。分析：在这两个实验中，心理学家所作的第一个实验运用的是求同法，第二个实验运用的共变法。通过实验证明听到母亲的心跳声对婴儿有
32、某种抚慰的作用。2 类比推理类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现)也相同的一种推理。据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。类比推理的结构，可表示如下：A 有属性 a、b、c、dB 有属性 a、b、c所以，B 有属性 d类
33、比推理的客观根据是什么呢?在客观现实里，事物的各个属性并不是孤立的，而是相互联系和相互制约的。因此，如果两个事物在一系列属性上相同或相似，那么，它们在另一些属性上也可能相同或相似。类比推理的结论是否可靠呢?这要看进行类比的两个或两类事物所具有的共同属性与类推属性之间是否有必然的联系。如果有，用类比推理所得到的认识就是可靠的，否则就是不可靠的。由此可见，类比推理的结论只具有或然性，即可能真，也可能假。类比推理尽管其前提是真实的，也不能保证结论的真实性。这是因为，A和 B 毕竟是两个对象，它们尽管在一系列属性上是相同的，但仍存在着差异性，这种差异性有时就表现为 A 对象具有某属性，而 B 对象不具
34、有某属性。如何提高类比推理的结论的可靠性呢?第一，前提中确认的相同属性愈多，那么结论的可靠程度也就愈大；第二，前提中确认的相同属性愈是本质的，相同属性与要推出的属性之间愈是相关的，那么结论的可靠程度也就愈大。要特别注意，不能将两个或两类本质不同的事物，按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论，否则就要犯机械类比的错误。例如，基督教神学家们就曾用机械类比来“证明”上帝的存在。在他们看来，宇宙是由许多部分构成的一个和谐的整体，正如同钟表是由许多部分构成的和谐整体一样，而钟表有一个创造者，所以，宇宙也有一个创造者上帝。这就是把两类根本性质不同的对象，按其表面相似之处，机械地加以类比。这种类比显然
35、是错误的，不合逻辑的。例 1、一般人总会这样认为，既然人工智能这门新兴学科是以模拟人的思维为目标，那么，就应该深入地研究人思维的生理机制和心理机制。其实，这种看法很可能误导这门新兴学科。如果说，飞机发明的最早灵感是来自于鸟的飞行原理的话，那么，现代飞机从发明、设计、制造到不断改进，没有哪一项是基于对鸟的研究之上的。上述议论，最可能把人工智能的研究，比作以下哪项?A. 对鸟的飞行原理的研究。B. 对鸟的飞行的模拟。C. 飞机的不断改进。D. 飞机的设计制造。解题分析 正确答案：D。题干所作的类比分析是：飞机的发明、设计制造和改进并非基于对鸟的研究，因此，人工智能的研究也 不应基于对人思维的生理和
36、心理机制的研究。显然，这里，把对人思维的生理和心理机制的研究，比作对鸟的研究；把人工智能的研究，比作飞机的发 明、设计制造和改进。D 项和 C 项都和题干的上述类比相关，但显然 D 项比 C 项作为题干中人工智能研究的类比对象 更为恰当。例 2、小光和小明是一对孪生兄弟，刚上小学一年级。一次，他们的爸爸带他们去密云水库游玩，看到了野鸭子。小光说：“野鸭子吃小鱼。 ”小明说：“野鸭子吃小虾。 ”哥俩说着说着就争论起来，非要爸爸给评评理。爸爸知道他们俩说得都不错，但没有直接回答他们的问题，而是用例子来进行比喻。说完后，哥俩都服气了。以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？A. 一个人的爱好是会变化的
37、。爸爸小时候很爱吃糖，你奶奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好，若是陌生人喂，怎么也不吃。D. 你们兄弟俩的爱好几乎一样，只是对饮料的爱好不同。一个喜欢可乐，一个喜欢雪碧。你妈妈就不在乎，可乐、雪碧都行。解题分析 正确答案：D。在 题干中，两人说的“野鸭子吃小鱼”和“野鸭子吃小虾”都有可能性，可能一部分野鸭子吃小鱼，另一部分野鸭子吃小虾，也可能是野鸭子既吃小鱼又吃小虾。所以两个孩子的话并不矛盾，他们只是片面地看到了野鸭子某一种行为，各执一词，争论不休
38、。在 D中，爸爸用哥俩各有偏好和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比，说明同一个群体的不同个体可能有不同偏好，一个主体也可以有不同的行为。由于比喻恰当，哥俩也就服气了。选项 C、D 用的不是比喻，与题干不符。选项 A 虽然用了比喻，但是说的是小孩和大人的区别，而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子。选 B 不妥，因为 B 变的是事物的两面性，含有人的主观评价，与题干的含义相距较远。小结：本节课学习了归纳推理与类比推理.课堂练习：第 62 页练习 A、B，66 页课后作业：第 69 页 A:1，2，2.1.2 演绎推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的 实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本
39、模式，并能运用它们进行一些简单推理。教学重点：掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。教学过程一、 复习二、 引入新课1假言推理假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。（1）充分条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的前件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，结论就否定大前提的前件。（2）必要条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的后件 ，结论就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。2三段论三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。三段论中三个简 单判断只
40、包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词” ，结论中的主词叫“小词” ，结论不出现的那个概念叫“中词” ，在两个前提中，包含大词的叫“ 大前提” ，包含小词的叫“小前提” 。3.关系推理 指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推演的。可 分为纯关系推理和混合关系推理。纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括 对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。(1)对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理。(2)反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理。(3)传递性关系推理是根据关系的 传递
41、性进行的推理。(4)反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。4. 完全归纳推理是这样一 种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。 完全归纳推理可用公式表示如下：S1 具有（或不具有）性质 PS2 具有（或不具有）性质 PSn 具有（或不具有）性质 P （S1 S2Sn 是 S 类的所有个别对象） 所以，所有 S 都具有（或不具有）性质 P 可见，完全归纳推理的基本特点在于：前 提中所考察的个别对象，必须是该类事物的全部个别对象。否则，只要其中有一个个别对象没有考察，这样的归纳推理就不能称做完全归纳 推理。完全归纳推
42、理的结论所断定的范围，并未超出前提所断定的范围。所以，结论是由前提必然得 出的。应用完 全归纳推理，只要遵循以下两点，那末结论就必然是真实的：（1）对于个别对象的断定都是真实的；（2）被断定的个别对象是该类的全部个别对象。小结：本节课学习了演绎推 理的基本模式.课堂练习：第 68 页练习 A、B课后作业：第 69 页 A:3，2.2.1综合法和分析法教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力 和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学
43、生学习数学的兴趣。第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若 12,aR，且 12a，则 124a”，试请此结论推广猜想.（答案：若 .n，且 .n，则 121.naa 2）2. 已知 ,bc， bc，求证： 9bc.先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例 1：已知 a, b,
44、c 是不全相等的正数，求证： a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） 板演证明过程（注意等号的处理） 讨论：证明形式的特点 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. 练习：已知 a， b， c 是全不相等的正实数，求证 3bcabac. 出示例 2：在 ABC 中，三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 A、 B、 C 成等差数列， a、 b、 c 成等比数列. 求证：为 ABC 等边三
45、角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ 板演证明过程 讨论：证明过程的特点. 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角 和）2. 练习： ,AB为锐角，且 tant3tan3ABA，求证： 60AB. （提示：算tan()） 已知 ,bc 求证： 14.bc3. 小结：综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的 结论 12,Q，直到最后的结论是 Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习 ：1. 求证：对于任意角 ， 44cosincos2. （教材 P100 练习 1 题） （两人板演 订正
46、小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC的三个内角 ,ABC成等差数列，求 证： 13abcab.3. 作业：教材 P102 A 组 2、3 题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式 (0,)2abab.（讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授
47、新课：1. 教学例题： 出示例 1：求证 3526. 讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程 （注意格式） 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示： 要点：逆推证法；执 果索因. 练习：设 x 0， y 0，证明不等式：1123()()xyxy.先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明. 出示例 2：见教材 P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） 出示例 3：见教材 P99
48、. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与 已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为 2l，截面积为 2()l，周长为 l 的正方形边长为 4，截面积为 2()4，问题只需证： 2() 4.3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知 12,P，直到所有的已知 P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知 ”推“
49、可知” （综合） ，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设 a, b, c 是的 ABC 三边， S 是三角形的面积，求证： 2243cabS.略证：正弦、余弦定理代入得： 2cos43sinabCC，即证： 2os3inC，即： 3in，即证： i()16（成立）.2. 作业：教材 P100 练习 2、3 题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2 枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样 一个
