1、1第 13 课时 定积分的简单应用基础达标(水平一)1.由曲线 y=x3与直线 y=x 所围成图形的面积等于( ).A. (x-x3)dx B.2 (x-x3)dx1-1 10 C. (x3-x)dx D.2 (x-x3)dx1-1 0-1 【解析】如图, x 轴下方与上方的面积相等 .故选 B.【答案】B2.与定积分 |sin x|dx 相等的是( ).320 A.|320sin|B. sin xdx320 C. sin xdx- sin xdx 0 32 D. sin xdx+ sin xdx 0 32 【解析】结合图象(图略),利用定积分的几何意义可知选 C.【答案】C3.曲线 y=si
2、n x(0 x)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是( ).12A. B.2-3 3C.2- D. -3 33【解析】由 sin x= 及 0 x,得 x= 或 x= ,12 6 56所以曲线 y=sin x(0 x)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是 S= sin xdx- 12 566 12- =-cos +cos - = - .(56-6)=-cos|5663 56 63 33【答案】D4.已知曲线 y=x2和曲线 y= 围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( ).2A.1B.12C.22D.13【解析】 S= = .10-2)=(2332-33)| 1 0 13【答案】D5.
3、一物体在力 F(x)=3x2-2x+5(力单位:N,位移单位:m)作用力下,沿与力 F(x)相同的方向由x=5 m 直线运动到 x=10 m 处所做的功是 . 【解析】 W= F(x)dx= (3x2-2x+5)dx105 105 =(x3-x2+5x)| 105=(1000-100+50)-(125-25+25)=825 J.【答案】825 J6.曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为 . 【解析】由 xy=1 得 y= .由 y= =3,解得 xB= ,由 解得 xC=1,由 得 xD=3.所以1 1 13 =1,=, =3,=,根据积分的几何意义知所求面积为
4、 (3-x)dx=(3x-ln x)113(3-1)+31 + =4+ln =4-ln 3.113(3-122) 3113【答案】4 -ln 37.有一动点 P,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2,求:(1)当 t=5 时,点 P 距出发点的位置;(2)当 t=0 到 t=5 时,点 P 经过的路程 .3【解析】(1) s= (8t-2t2)dt= = .50 (42-233) 50503(2)当 v(t)=8t-2t20,即当 0 t4 时,点 P 向 x 轴正方向运动;当 t4 时,点 P 向 x轴负方向运动 .因此所求路程应为 s2= (8t-2t2)dt+ -(8t-2t2
5、)dt= +40 54 (42-233) 40(233-42)=26. 54拓展提升(水平二)8.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间 t 的函数,若已知产量的变化率为 a= ,那么36从 3 小时到 6 小时期间内的产量为( ).A. B.3- C.6+3 D.6-312 322 2 2【解析】 dt= =6-3 ,故选 D.63 36 6 63 2【答案】D9.如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形区域内的 A 处与 C 处各有一个通信基站,其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影部分,该正方形区域内无其他信号来源且这两个基站工作正常,若在该正方形区域内随机选择一个地点,则该地点
6、无信号的概率为( ).A. B.1- C. D.1-2222 1 1【解析】由题意得 S 阴影 =2 (e-ex)dx=2(ex-ex) =2,故所求概率 P=1- =1- ,故10 10 阴影正方形 22选 B.【答案】B10.如图,一水渠的横截面为等腰梯形,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【解析】建立如图所示平面直角坐标系 .4过点 B 作 BE x 轴于点 E, BAE=45,BE=2,AE= 2,又 OE=5,A (3,0),B(5,2).设抛物线的方程为 x2=2py(p0),代入点 B 的坐标,得 p= ,故抛物线
7、的方程为 y= x2,254 225从而图中阴影部分的面积为 2 x2dx- 22 = .50 225 12 83又易知等腰梯形 ABCD 的面积为 2=16,6+102 原始的最大流量与当前的最大流量的比值为 = .1616-8365【答案】6511.如图所示,设点 P 在曲线 y=x2上,从原点向 A(2,4)移动,直线 OP,曲线 y=x2及直线 x=2 所围成的面积分别记为 S1,S2.(1)当 S1=S2时,求点 P 的坐标;(2)当 S1+S2有最小值时,求点 P 的坐标和 S1+S2的最小值 .【解析】(1)由题意,设点 P 的坐标为( t,t2)(00.25故当 t= 时, S1+S2有最小值为 - ,此时点 P 的坐标为( ,2).283423 2
