1、1第一章 计数原理综合检测一、选择题1.若 =10 ,则 n=( ).32 3A.1 B.8 C.9 D.10【解析】 =10 , 2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),n= 8.32 3【答案】B2. + + + 等于( ).222324 210A.990 B.165 C.120 D.55【解析】因为 = + ,所以+1-1 + + + = + + + = + + = + + = =165.222324 210332324 2103424 2103525 210 311【答案】B3.设 mN *,且 m15,则(15 -m)(16-m)(20-m)等于( ).A. B.
2、C. D.615- 15-20- 620- 520-【解析】(15 -m)(16-m)(20-m)中 20-m是最大的因数,共 6个因数,因此记为.故选 C.620-【答案】C4.在二项式 的展开式中 ,x2的系数为( ).(+2)4A.8 B.4 C.6 D.12【解析】 Tr+1= x4-r =2r x4-2r,T2=2 x2=8x2,故 x2的系数为 8,故选 A.4 (2) 4 14【答案】A5.四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站首尾两端的排法数为( ).A. -2 B. -5546 4445 55464445C. -2 D. -
3、5545 4444 55454444【解析】四位男演员互不相邻可用插空法,有 种排法,其中女演员甲站在首尾两端5546的排法有 2 种,因此所求排法数为 -2 .故选 A.4445 5546 4445【答案】A26.将 4个相同的白球和 5个相同的黑球全部放入 3个不同的盒子中,每个盒子中既要有白球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只放入 2个白球和 2个黑球,则所有不同的放法种数为( ).A.3 B.6 C.12 D.18【解析】 有 种, 有 3种,所以共有 +3 =12种 .黑 :2,2,1白 :1,1,2 13 黑 :1,1,3白 :1,1,2 13 13 13【答案】C7.从 10
4、名高三年级优秀学生中挑选 3人担任校长助理,则甲、乙至少有 1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( ).A.85 B.56 C.49 D.28【解析】分两种情况:第一种,甲、乙只有 1人入选,则有 =42种;第二种,甲、乙都1227入选,有 =7种.所以共有 42+7=49种选法,故选 C.2217【答案】C8.若 = ,则 的值为( ).34!3!(-3)!A.1 B.7 C.20 D.35【解析】由 = ,即 = ,解得 n=7,34(-1)(-2)321 (-1)(-2)(-3)4321所以 = = =35.!3!(-3)!7654!3!4! 765321【答案】D9.(x+1)(2
5、x+1)(3x+1)(nx+1)(nN *)展开式中的一次项系数为( ).A. B. C. D.2+1 2 -1122+1【解析】一次项的系数为 1+2+3+n= = .(+1)2 2+1【答案】A10.从 0,1,2,3,4,5这六个数字中选两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( ).A.300 B.216 C.180 D.162【解析】第一类,从 1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 =72;第二类,取 0,此时 2,4只能取一个,0 不能排在首位,组成没有重复数232244字的四位数的个数为 ( - )=108.所以组成没有重复数字
6、的四位数的个数为23124433108+72=180,故选 C.【答案】C11.从正方体 ABCD-A1B1C1D1的 8个顶点中选取 4个作为四面体的顶点,可得到的不同的四面体的个数为( ).A. -12 B. -8 C. -6 D. -448 48 48 483【解析】在正方体中,6 个面和 6个对角面上的四个点不能构成四面体,故有( -12)个 .48【答案】A12.用 a代表红球, b代表蓝球, c代表黑球 .由加法计数原理及乘法计数原理,从 1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可用(1 +a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab表示,其中“1”表示一个球都不取,“ a”表示取出
7、一个红球,“ b”表示取出一个蓝球,“ ab”表示把红球和蓝球都取出来 .依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ).A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)【解析】由题意知,5 个无区别的红球取出若干个球可表示为 1+a+a2+a3+a4+a5;5个无区别的蓝球都取出
8、或都不取出可表示为 1+b5;5个有区别的黑球取出若干个球可表示为(1 +c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.由乘法计数原理可得所有取法可表示为(1 +a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5.【答案】A二、填空题13.已知(1 +3x)n的展开式中, x2的系数是 54,则 n= . 【解析】二项展开式的通项公式 Tr+1= (3x)r= 3rxr,令 r=2,得 32=54,解得 2n=4.【答案】414.有两排座位,前排 4个座位,后排 5个座位,现安排 2人就坐,并且这 2人不相邻(一前一后也视为不相邻),那么不同的坐法的种数是 . 【解析】两人都在
9、前排有 种,两人都在后排有 种,一前一后有 452=40种,故共23 24有 + +40=58种 .2324【答案】5815.若二项式(3 -x)n(nN *)中所有项的系数之和为 a,所有项的系数的绝对值之和为 b,则 +的最小值为 . 【解析】令 x=1,得 a=2n;令 x=-1,得 b=4n.所以 + =2n+ .令 t=2n(t2),得 + =t+ , 12 1由“对勾函数”的图象与性质知 t+ 2 + = .1 1252【答案】52416.如图,在杨辉三角中,从上往下数共有 n行( nN *),在这些数中,非 1的数之和为 . 【解析】根据题意,所求之和 S=(20+21+22+2
10、n-1)-(2n-1)= -2n+1=2n-2n.2-12-1【答案】2 n-2n三、解答题17.(1)求证: +5 = .57 4758(2)若 =10 ,求 n的值 .32 3【解析】(1)左边 = +5 =76543+57654=(3+5)57 477654=87654= =右边,故等式得证 .58(2)由 =10 (n3, nN *),得 2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),即 4n(2n-1)(n-1)32 3=10n(n-1)(n-2),解得 n=8.18.(1)求 的展开式中的常数项 ;(1- 2)9(2)已知 x10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2
11、+a10(x+2)10,求 a1+a2+a3+a10的值 .【解析】(1)展开式的通项为 Tr+1= =(-1)r .令 r-9=0,得 r=6.9(1)9- (- 2) 2-2932-9 32因此展开式的常数项为 T7=(-1)62-3 = .69212(2)分别令 x=-2与 x=-1,得 0=210,0+1+2+10=1,两式相减得 a1+a2+a10=1-210=-1023.19.某单位职工义务献血,在体检合格的人中, O型血的共有 28人, A型血的共有 7人, B型血的共有 9人, AB型血的有 3人 .(1)从中任选 1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选 1
12、人去献血,有多少种不同的选法?【解析】从 O型血的人中选 1人有 28种不同的选法,从 A型血的人中选 1人有 7种不同的选法,从 B型血的人中选 1人有 9种不同的选法,从 AB型血的人中选 1人有 3种不同的选法 .(1)任选 1人去献血,即无论选哪种血型中的哪一个人,这件“任选 1人去献血”的事情都能完成,所以根据分类加法计数原理,共有 28+7+9+3=47种不同的选法 .5(2)要从四种血型的人中各选 1人,即要在每种血型的人中依次选出 1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以根据分步乘法计数原理,共有 28793=5292种不同的选法 .20.6个女生(其中有一个领唱)和
13、2个男生分成两排表演 .(1)若每排 4人,共有多少种不同的排法?(2)若领唱站在前排,男生站在后排,且每排 4人,有多少种不同的排法?【解析】(1)分三步:第一步,先从 8人中选出 4人站在前排,另外 4人站在后排,有 种48不同的选法;第二步,前面 4人进行排列,有 种排法;第三步 ,后面 4人也进行排列,有 种44 44排法 .由分步乘法计数原理得共有 ( )2=40320种排法 .4844(2)首先从除去领唱的 5个女生中选出 3个与领唱站在前排,然后前排与后排进行排列,所以共有 ( )2=5760种排法 .354421.已知(1 +m )n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为 2
14、56,展开式中 x的系数为 112.(1)求 m,n的值;(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;(3)求(1 +m )n(1-x)的展开式中 x2的系数 .【解析】(1)由题意得 2n=256,解得 n=8. 通项 Tr+1= mr ,x 的系数为 m2=112,解得 m=2或 m=-2(舍去) .8 2 28故 m,n的值分别为 2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为 28-1=128.(3) (1+2 )8(1-x)=(1+2 )8-x(1+2 )8, x 2的系数为 24- 22=1008.48 2822.给定数字 0、1、2、3、5、9,每个数字最多用一次 .求:(1)可以组
15、成多少个四位数?(2)可以组成多少个是四位数的奇数?(3)可以组成多少个自然数?【解析】(1)(法一)从“位置”考虑,由于 0不能放在首位,因此首位数字只能有 种取15法,其余三个数位可以从余下的 5个数字(包括 0)中任取 3个排列,所以可以组成 =3001535个四位数 .(法二)“排除法”,从 6个元素中取 4个元素的所有排列中,减去 0在首位上的排列数即为所求,所以共有 - =300个四位数 .461135(2)从“位置”考虑,个位数字必须是奇数,有 种排法,由于 0不能放在首位,因此首位14数字有 种排法 ,其余两个数位的排法有 种,所以共有 =192个是四位数的奇数 .14 24 141424(3)一位数,有 =6个;两位数,有 =25个;16 15156三位数,有 =100个;四位数,有 =300个;1525 1535五位数,有 =600个;六位数,有 =600个 .1545 1555所以共有 6+25+100+300+600+600=1631个自然数 .
