1、1第 2 课时 复数代数形式的加、减运算及其几何意义基础达标(水平一)1.在复平面内,复数 4+i 和 1+2i 分别对应向量 和 ,其中 O 为坐标原点,则 对应的复数 的虚部是( ).A.-3 B.1 C.i D.3【解析】因为 = - ,所以 对应的复数为(1 +2i)-(4+i)=-3+i,故其虚部是 1. 【答案】B2.若 z1=2+i,z2=3+ai(aR), z1+z2所对应的点在实轴上,则实数 a 的值为( ).A.3 B.2 C.1 D.-1【解析】 z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)i,z1+z2对应的点在实轴上,即 z1+z2为实数,因此 a+1=0,a
2、=-1.【答案】D3.已知 |z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z 等于( ).A.-3 B.3 C.-3i D.3i【解析】设 z=x+yi(x,yR),则 z+3i=x+(y+3)i.因为 z+3i 是纯虚数,所以 又 |z|= =3,解得 x=0,y=3,即 z=3i.=0,+30. 2+2【答案】D4.设 z=3-4i,则复数 z-|z|+(1-i)在复平面内的对应点位于( ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】 z= 3-4i,z-|z|+ (1-i)=(3-4i)- +(1-i)32+(-4)2=(3-5+1)+(-4-1)i=-1-5i,故其对应的点
3、( -1,-5)位于复平面内的第三象限 .【答案】C5.复数 z1=cos + i,z2=sin - i,则复数 z1-z2的模的最大值为 . 【解析】 z 1-z2=cos -sin +2i,|z 1-z2|= = .(cos-sin)2+4 5-sin2 5-sin 2 6,|z 1-z2|的最大值为 .6【答案】 66.在平行四边形 OABC 中,各顶点对应的复数分别为 zO=0,zA=2+ i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则2实数 a-b 为 . 【解析】因为 + = ,所以 2+ i+(-b+ai)=-2a+3i,所以 得 所以 a-2 2-=-2,2+=3, =2,=6,
4、b=-4.【答案】 -427.设 mR,复数 z1= +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若 z1+z2是虚数,求实数 m 的取值范围 .2+2【解析】因为 z1= +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,所以 z1+z2= +(m-15)2+2 (2+2-2)+m(m-3)i= +(m2-2m-15)i.2-4+2因为 z1+z2是虚数,所以 m2-2m-150 且 m -2,所以 m5 且 m -3 且 m -2,所以实数 m 的取值范围是( - ,-3)( -3,-2)( -2,5)(5, + ).拓展提升(水平二)8.已知 z1= a+(a+1)i,z2=-3 b+(b
5、+2)i(a,bR),若 z1-z2=4 ,则 a+b=( ).323 3A.3 B.4 C.2 D.1【解析】 z 1-z2= a+(a+1)i-3 b+(b+2)i= +(a-b-1)i=4 ,由复数相等323 (32+33)3的充要条件知 解得 a+b= 3.32+33=43,-1=0, =2,=1,【答案】A9.复数 z1,z2满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cos + (+ 3sin )i(m, , R),且 z1=z2,则 的取值范围是( ).A.-1,1 B.-916,1C. D.-916,7 916,1【解析】 z 1=z2, = 4sin2- 3sin = 4 - .
6、=2cos,4-2=+3sin, (sin-38)2 916又 sin -1,1, .-916,7【答案】C10.若 zC, |z+2-2i|=1,则 |z-2-2i|的最小值为 . 【解析】已知在 |z-(-2+2i)|=1 中,z 的对应点轨迹是以( -2,2)为圆心,1 为半径的圆,|z-(2+2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离,最小值为圆心与点(2,2)的距离 d=4 减去半径 1,即 |z-2-2i|的最小值为 3.【答案】311.已知复平面上的四个点 A,B,C,D 是平行四边形的四个顶点,顶点 A,B,C 分别对应于复数 -5-2i,-4+5i,2,求点 D 对应的复数 .【解析】通过四个点 A,B,C,D 构成平行四边形,并不仅有 ABCD 一种情况,应该还有ABDC 和 ACBD 两种情况 .如图所示 .3先考虑 ABCD 这种情况 . = ,z A-zB=zD-zC,z D=zA-zB+zC=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点 D 对应的复数为 1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点 D 对应的复数 z.图 中点 D 对应的复数为 3+7i,图 中点 D 对应的复数为 -11+3i.故点 D 对应的复数为 1-7i 或 3+7i 或 -11+3i.
