1、1第 12课时 圆锥曲线的综合应用基础达标(水平一 )1.若 m是 2和 8的等比中项,则圆锥曲线 x2+ =1的离心率是( ).2A. B. C. 或 D. 或32532 52 325【解析】因为 m=4,当 m=4时,离心率为 ,当 m=-4时,离心率为 ,故选 D.325【答案】D2.下列说法中不正确的是( ).A.若动点 P与定点 A(-4,0),B(4,0)连线 PA,PB的斜率之积为定值 ,则动点 P的轨迹为49双曲线的一部分B.设 m,nR,常数 a0,定义运算“ *”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若 x0,则动点 P(x, )*的轨迹是抛物线的一部分C.已知圆 A:(x
2、+1)2+y2=1,圆 B:(x-1)2+y2=25,动圆 M与圆 A外切,与圆 B内切,则动圆的圆心 M的轨迹是椭圆D.已知点 A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过 A,B两点且以 C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线【解析】A 选项中轨迹是双曲线去掉与 x轴交点的部分;B 选项中的抛物线取 x轴上方的(包含 x轴)部分;C 选项中符合椭圆定义是正确的;D 选项中应为双曲线一支 .故选 D.【答案】D3.已知 A是双曲线 - =1(a0,b0)的左顶点, F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点, P为双曲2222线上一点, G是 PF1F2的重心,若 = ,则双曲
3、线的离心率为( ). 1A.2 B.3C.4 D.与 的取值有关【解析】因为 = ,所以 ,所以 = = ,即 = ,所以 e= =3,故选 B. 1 1|1| | 13 13 【答案】B4.已知椭圆的中心在原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x的焦点重合,则此12椭圆的方程为( ).A. + =1 B. + =12423 2826C. +y2=1 D. +y2=122 24【解析】 抛物线的焦点为( -1,0),c= 1.又椭圆的离心率 e= ,a= 2,b2=a2-c2=3,122 椭圆的方程为 + =1,故选 A.2423【答案】A5.若双曲线 - =1(ab0)的左
4、、右焦点分别为 F1、 F2,线段 F1F2被抛物线 y2=2bx的焦点2222分成 5 3两段,则此双曲线的离心率为 . 【解析】因为抛物线的焦点坐标为 ,由题意知 = ,解得 c=2b,所以(2,0)2-(-)-2 53c2=4b2=4(c2-a2),即 4a2=3c2,所以 2a= c,故 e= = .3233【答案】2336.已知双曲线 E: - =1(a0,b0)的左、右顶点分别为 A、 B,点 M在 E上, ABM为等腰三2222角形,且顶角 满足 cos =- ,则 E的离心率为 . 13【解析】设点 M在第一象限, ABM是等腰三角形,则有 AB=BM,由 cos =- 得 s
5、in =13,所以 M点坐标为 ,即 ,代入双曲线方程有 - =1,b2=2a2,又223 (+213,2223) (53,423) 259 32292因为 b2=c2-a2,所以 c2-a2=2a2, =3,e= = .22 3【答案】 37.已知动直线 l的倾斜角为 45,若 l与抛物线 y2=2px(p0)交于 A,B两点,且 A,B两点纵坐标之和为 2.(1)求抛物线方程;(2)若直线 l与 l平行,且 l过原点关于抛物线的准线与 x轴的交点的对称点, M为抛物线上一动点,求动点 M到直线 l的最小距离 .【解析】(1)设直线 l的方程为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)
6、,将 x=y-b代入 y2=2px,得 y2-2py+2pb=0.由题意知 y1+y2=2p=2,得 p=1.故抛物线方程为 y2=2x.(2)抛物线 y2=2x的准线与 x轴的交点为 ,则 l过点 (-1,0),所以 l的方程为(-12,0)y=x+1,故点 M(x,y)到直线 l的距离 d= .|-+1|2因为点 M(x,y)在抛物线 y2=2x上,3所以 d= = = .|22-+1|2 |2-2+2|22 |(-1)2+1|22故当 y=1时, d的最小距离为 .24拓展提升(水平二)8.若点 O和点 F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点 P为椭圆上的任意一点,2423则 的最大值
7、为( ).A. B.6 C.8 D.12214【解析】设点 P(x,y),则 =(x,y)(x+1,y)=x2+x+y2,因为点 P在椭圆上,所以 + =1,2423所以 x2+x+ = x2+x+3= (x+2)2+2,又 -2 x2,(3-342)14 14所以当 x=2时, (x+2)2+2取得最大值为 6,14即 的最大值为 6,故选 B.【答案】B9.已知双曲线 - =1(a0,b0)的实轴长为 4 ,虚轴的一个端点与抛物线 x2=2py(p0)的2222 2焦点重合,直线 y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则 p的值为( ).A.4 B.3 C.2 D.1【解析】
8、抛物线 x2=2py的焦点为 ,所以可得 b= ,因为 2a=4 a=2 ,所以双曲线(0,2) 2 2 2方程为 - =1,可求得其渐近线方程为 y= x,不妨设 y=kx-1与 y= x平行,则有 k=28 422 42 42.42联立方程 得 x2- x+2p=0,所以 = -8p=0,解得 p=4,又 p0,故=42-1,2=2, 222 (- 222)2p=4.【答案】A410.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F, ABC的顶点都在抛物线上,且满足 + =- ,则+ + = . 111【解析】设 A,B,C三点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
9、+ =- , ABC的重心是 F.又 抛物线 y2=2px的焦点 F的坐标为 ,(2,0)y 1+y2+y3=0.又 点 A,B在抛物线上, =2px1, =2px2,两式相减,得 - =2p(x1-x2),21 22 2122k AB= ,同理 kBC= ,kCA= ,21+222+321+3 + + = + + = =0.1111+22 2+32 3+12 1+2+3【答案】011.已知椭圆 C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线 C2: -y2=1的顶点,直线 x+ y=022 2与椭圆 C1交于 A,B两点,且点 A的坐标为( - ,1),点 P是椭圆 C1上异于 A,B的任意一点,
10、2点 Q满足 =0, =0,且 A,B,Q三点不共线 . (1)求椭圆 C1的方程;(2)求点 Q的轨迹方程;(3)求 ABQ面积的最大值及此时点 Q的坐标 .【解析】(1) 双曲线 C2: -y2=1的顶点为 F1(- ,0),F2( ,0),22 2 2 椭圆 C1两焦点分别为 F1(- ,0),F2( ,0).2 2设椭圆 C1方程为 + =1(ab0),2222 椭圆 C1过点 A(- ,1),2 + =1. 2212a 2=b2+2, 由 解得 a2=4,b2=2. 椭圆 C1的方程为 + =1.2422(2)设点 Q(x,y),点 P(x1,y1),由点 A(- ,1)及椭圆 C1
11、关于原点对称可得 B( ,-1),2 2 =(x+ ,y-1), =(x1+ ,y1-1), 2 2=(x- ,y+1), =(x1- ,y1+1). 2 25由 =0,得( x+ )(x1+ )+(y-1)(y1-1)=0, 2 2即( x+ )(x1+ )=-(y-1)(y1-1). 2 2同理,由 =0,得( x- )(x1- )=-(y+1)(y1+1). 2 2 得( x2-2)( -2)=(y2-1)( -1). 21 21由于点 P在椭圆 C1上,则 + =1,得 =4-2 ,214212 21 21代入 式得 -2( -1)( -2)=(y2-1)( -1).21 2 21当
12、-10 时,有 2x2+y2=5;21当 -1=0,则点 P(- ,-1)或 P( ,1),此时点 Q对应的坐标分别为( ,1)或( - ,-1),21 2 2 2 2其坐标也满足方程 2x2+y2=5.当点 P与点 A重合时,即点 P(- ,1),由 得 y= x-3,2 2解方程组 得点 Q的坐标为 ( ,-1)或 .22+2=5,= 2-3, 2 ( 22,-2)同理,当点 P与点 B重合时,可得点 Q的坐标为( - ,1)或 .2 (- 22,2) 点 Q的轨迹方程为 2x2+y2=5,除去四个点( ,-1), ,(- ,1), .2 (22,-2)2 (-22,2)(3)由于 |AB|= =2 ,( 2+ 2)2+(-1-1)2 3故当点 Q到直线 AB的距离最大时, ABQ的面积最大 .设与直线 AB平行的直线为 x+ y+m=0,2由 消去 x,得 5y2+4 my+2m2-5=0,+ 2+=0,22+2=5, 2由 = 32m2-20(2m2-5)=0,解得 m= .522若 m= ,则 y=-2,x=- ;522 22若 m=- ,则 y=2,x= .522 22故当点 Q的坐标为 或 时, ABQ的面积最大, 其最大值为 S= |AB|(22,2) (- 22,-2) 12= .| 22+ 22|12+( 2)2 522
