1、1第 4 课时 椭圆的简单几何性质基础达标(水平一 )1.已知椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于( ).210- 2-2A.4 B.8 C.4 或 8 D.以上均不对【解析】 当椭圆的焦点在 x 轴上时,10 -m-(m-2)=4,解得 m=4; 当椭圆的焦点在 y 轴上时, m-2-(10-m)=4,解得 m=8.故选 C.【答案】C 2.已知 F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段 F1F2为边作正 MF1F2,若边 MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为( ).A. B. -1 C. D. -13-122223【解析】如图,由题意知 F1PF2为直角三角形, PF2F1=30,又
2、 |F1F2|=2c,所以 |PF1|=c,|PF2|= c,3所以 2a=|PF1|+|PF2|=(1+ )c,3所以 = = = -1. 21+ 32( 3-1)2 3【答案】D3.若将一个椭圆绕中心旋转 90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆” .下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是( ).A. + =1 B. + =128 24 23 25C. + =1 D. + =126 22 26 29【解析】由题意,当 b=c 时,将一个椭圆绕中心旋转 90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即该椭圆为“对偶椭圆” .只有选项 A 中的 b=c=2
3、 符合题意 .【答案】A4.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).A. B. C.2- D. -122 2-122 22【解析】设椭圆焦点在 x 轴上,点 P 在 x 轴上方,则其坐标为 ,因为 F1PF2为等腰(,2)直角三角形,所以 |PF2|=|F1F2|,即 =2c,即 b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以 a2,化简得 1-2e2=2e,解得 e= -1,故选 D.2【答案】D5.经过点(2, -3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆方程为 . 【解析】椭圆 9x
4、2+4y2=36 可化为 + =1,24 29则它的两个焦点分别为(0, - ),(0, ).5 5设所求椭圆的方程为 + =1( 0).2 2+5又该椭圆过点(2, -3),所以 + =1,解得 = 10 或 =- 2(舍去) .4 9+5所以所求椭圆的方程为 + =1.210215【答案】 + =12102156.椭圆 + =1(ab0)的左、右顶点分别是 A、 B,左、右焦点分别是 F1、 F2.若2222|AF1|、 |F1F2|、 |F1B|成等比数列,则该椭圆的离心率为 . 【解析】 A 、 B 分别为左、右顶点, F1、 F2分别为左、右焦点, |AF 1|=a-c,|F1F2|
5、=2c,|BF1|=a+c.又由 |AF1|、 |F1F2|、 |F1B|成等比数列,得( a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2, 离心率 e= .55【答案】 557.已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2,离心率 e= ,连接椭圆的四个顶2222 22点所得四边形的面积为 4 .2(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设 A,B 是直线 l:x=2 上不同的两点,若 =0,求 |AB|的最小值 .2 1 2【解析】(1)由题意得= 22,2=2+2,=1222=42,解得 =2,= 2,= 2.3所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.24 22(2)由(1)
6、知,点 F1(- ,0),F2( ,0),设直线 l:x=2 上不同的两点 A,B 的坐标分别为2 2 2A(2 ,y1),B(2 ,y2),则 =(-3 ,-y1), =(- ,-y2),由 =0 得 y1y2+6=0,2 2 1 2 2 2 1 2即 y2=- ,不妨设 y10,则 |AB|=|y1-y2|=y1+ 2 ,当 y1= ,y2=- 时取等号,所以6161 6 6 6|AB|的最小值是 2 .6拓展提升(水平二)8.设 F1,F2分别是椭圆 E: + =1(ab0)的左,右焦点, P 为直线 x= 上一点, F2PF1是底角2222 32为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为
7、( ).A. B. C. D.12 23 34 45【解析】设直线 x= 与 x 轴交于点 M,则 PF2M=60,在 Rt PF2M 中,32|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|= -c,故 cos 60= = = ,解得 = ,故离心率 e= .32 |2|2| 32-2 12 34 34【答案】C9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、 B1、 B2分别为椭圆 C: + =1(ab0)的右、下、2222上顶点, F 是椭圆 C 的右焦点 .若 B2F AB1,则椭圆 C 的离心率是 . 【解析】由题意得 - =-1b2=aca2-c2=ac1-e2=e,又 0b0)的右焦
8、点为 F2(3,0),离心率为 e.2222(1)若 e= ,求椭圆的方程 .32(2)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点, M,N 分别为线段 AF2,BF2的中点 .若坐标原点 O 在以MN 为直径的圆上,且 e ,求 k 的取值范围 .22 32【解析】(1)由题意得 解得 a=2 ,=3,= 32, 3又 a2=b2+c2,解得 b2=3,所以椭圆的方程为 + =1.21223(2)联立 得( b2+a2k2)x2-a2b2=0.22+22=1,=, 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=0,x1x2= .-222+22依题意, OM ON,易知,四边形 OMF2N 为平行四边形,所以四边形 OMF2N 为矩形,所以 AF2 BF2,因为 =(x1-3,y1), =(x2-3,y2),2 2所以 =(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即 +9=0, 2 2-2(2-9)(1+2)22+(2-9)整理得 k2= =-1- .4-182+81-4+182814-182又因为 e ,所以 2 a3 ,12 a218,22 323 2所以 k2 ,即 k .18 (-,- 24 24,+)
