1、- 1 -第 1 课时 合情推理基础达标(水平一)1.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间中的结论: 垂直于同一条直线的两条直线互相平行; 垂直于同一个平面的两条直线互相平行; 垂直于同一条直线的两个平面互相平行; 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 .其中正确的结论是( ).A. B. C. D.【解析】由立体几何中线面之间的位置关系知 是正确的结论 .【答案】B2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角 .根据图中的数构成的规律,推出 a 所表示的数是( ).A.16 B.18 C.20 D.22【解析】由杨辉三角可以发现,每一行除
2、1 外,每个数都是它“肩上”的两个数之和,故a=10+10=20.【答案】C3.观察下列各式:5 5=3125,56=15625,57=78125,则 52011的末四位数字为( ).A.3125 B.5625 C.0625 D.8125【解析】 55=3125,56=15625,57=78125,58的末四位数字为 0625,59的末四位数字为3125,510的末四位数字为 5625,511的末四位数字为 8125,512的末四位数字为 0625,由上可得末四位数字周期为 4,呈规律性交替出现, 52011=54501+7的末四位数字为 8125.【答案】D4.算数书竹简于上世纪八十年代在湖
3、北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也 .又以高乘之,三十六成一 .该术相当于给出了圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V L2h,实际上它是将136圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的275 近似取为( ).A. B. C. D.227 258 15750 355113【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r,则 L=2 r,将 L2h Sh,代入 S= r2,化简得 3 .类136 13比推理可知,若 V L2h,则 .275 258【答案】B5.若数列 an
4、中, a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,则 a10= . - 2 -【解析】因为前 9 项共使用了 1+2+9=45 个奇数,前 10 项共使用了 1+2+3+4+10=55个奇数,所以 a10为从第 46 个到第 55 个奇数的和,即 a10=(246-1)+(247-1)+(255-1)= =1000.10(91+109)2【答案】10006.若等差数列 an的前 n 项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列 bn中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1= . 【解析】将等差数列前 n 项和类比到等比数列前 n
5、 项积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方” .因为若等差数列 an的前 n 项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an,所以由类比可得:在等比数列 bn中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1= .2-1【答案】 2-17.在平面几何中,研究正三角形内任意一点与三边的关系时,有真命题:边长为 a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值 a.类比上述命题,请写出关于正四面体内任意一点与32四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明 .【解析】类比所得的真命题:棱长为 a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.63证明:设 M 是正四面体 PABC 内任意一点,点
6、 M 到平面 ABC,平面 PAB,平面 PAC,平面 PBC 的距离分别为 d1,d2,d3,d4.由于正四面体四个面的面积相等,故有VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC= S ABC(d1+d2+d3+d4).13而 S ABC= a2, VP-ABC= a3,34 212故 d1+d2+d3+d4= a.63拓展提升(水平二)8.设 ABC 的三边长分别为 a,b,c, ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= .类比这2+个结论,设四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 R,四面体 SABC 的体积为 V,
7、则 R 的值为( ).A. B.1+2+3+421+2+3+4C. D.31+2+3+441+2+3+4【解析】设四面体 SABC 的内切球球心为点 O,由 V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,- 3 -即 V= S1R+ S2R+ S3R+ S4R,13 13 13 13可得 R= .31+2+3+4【答案】C9.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16,这样的数称为“正方形数” .如图,可以发现任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和 .下列等式中,符合这一规律的表达式是( ). 13
8、=3+10; 25=9+16; 36=15+21; 49=18+31; 64=28+36.A. B. C. D.【解析】这些“三角形数”依次是 1,3,6,10,15,21,28,36,45,且“正方形数”是“三角形数”中相邻的两个数之和,可得到 15+21=36,28+36=64,所以 是对的 .【答案】C10.我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 S= cr.类比这个结论,在空间中,如果一个凸多面体有内切球,且内切12球半径为 R,类比推导凸多面体的体积 V、表面积 S与内切球半径 R 之间的关系为 . 【解析】类比
9、平面中凸多边形的面积的求法,将空间凸多面体的内切球与各个顶点连接起来,将凸多面体分割成若干个小棱锥,每个棱锥都以多面体的面为底面,以内切球的半径为高,从而 V= S1R+ S2R+ SnR= (S1+S2+Sn)R= SR(S1,S2,Sn为凸多面体的各个面的面积) .13 13 13 13 13【答案】 V= SR1311.已知 f(x)= ,分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值,归纳猜想一般性结论,13+ 3并证明你的结论 .【解析】由 f(x)= ,13+ 3得 f(0)+f(1)= + = ,130+ 3131+ 3 33f(-1)+f(2)= + = ,13-1+ 3132+ 3 33f(-2)+f(3)= + = .13-2+ 3133+ 3 33- 4 -归纳猜想一般性结论为 f(-x)+f(x+1)= .33证明如下:f(-x)+f(x+1)= + = = = .13-+ 313+1+ 333+13+3+133+13(1+ 33) 33
