1、- 1 -第 4 课时 反证法基础达标(水平一)1.若 a,b,c 不全为 0,则只需( ).A.abc0B.a,b,c 中至少有一个为 0C.a,b,c 中只有一个是 0D.a,b,c 中至少有一个不为 0【解析】 a,b,c 不全为 0,即 a,b,c 中至少有一个不为 0.【答案】D2.若两个数之和为正数,则这两个数( ).A.一个是正数,一个是负数B.都是正数C.至少有一个是正数D.都是负数【解析】这两个数中至少有一个是正数 .否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选 C.【答案】C3.有以下结论: 已知 p3+q3=2,求证 p+q2,
2、用反证法证明时,可假设 p+q2; 已知 a,bR, |a|+|b|2”; 的假设为“两根的绝对值不都小于 1”.故 的假设错误, 的假设正确 .【答案】D4.若 a2+b2=c2,则 a,b,c( ).A.都是偶数 B.不可能都是偶数C.都是奇数 D.不可能都是奇数【解析】假设 a,b,c 都是奇数,则 a2,b2,c2都是奇数,因此 a2+b2为偶数,而 c2为奇数,即a2+b2 c2,这与 a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以 a,b,c 不可能都是奇数 .【答案】D5.用反证法证明命题“若 x2-(a+b)x+ab0,则 x a 且 x b”时,应假设 . 【解析】“ x a 且
3、 x b”形式的否定为“ x=a 或 x=b”.【答案】 x=a 或 x=b6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: A+ B+ C=90+90+ C180,这与三角形内角和为 180矛盾,故假设错误; 所以一个三角形不能有两个直角; 假设 ABC 中有两个直角,不妨设 A=90, B=90.上述步骤的正确顺序为 . 【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即 ;再推出矛盾,即 ;最后做出判断,肯定结论,即 . 所以正确的顺序应为 .- 2 -【答案】 7.过平面 内的一点 A 作直线 a,使得 a ,求证:直线 a 是唯一的 .【解析】假设直线 a 不唯一,则过点 A 至少还有
4、一条直线 b,使得 b .因为直线 a 与直线 b 是两条相交直线,所以直线 a 与直线 b 可以确定一个平面 .设 和 相交于过点 A 的直线 c,因为 a ,b ,所以 a c,b c.因此,在平面 内,过直线 c 上的点 A 就有两条直线 a,b 垂直于直线 c,这与“平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线”矛盾,所以假设不成立,故直线 a 是唯一的 .拓展提升(水平二)8.设 a,b,c 为正实数, P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“ PQR0”是“ P,Q,R 同时大于零”的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析
5、】若 P0,Q0,R0,则必有 PQR0;反之,若 PQR0,也必有 P0,Q0,R0.因为当PQR0 时,若 P,Q,R 不同时大于零,则 P,Q,R 中必有两个负数,一个正数 .不妨设 P0,即 a+b0,Q0,R0.【答案】C9.已知 a,b,c(0,1),则对于(1 -a)b,(1-b)c,(1-c)a,下列说法正确的是( ).A.不能同时大于 B.都大于14 14C.至少有一个大于 D.至多有一个大于14 14【解析】假设三个式子同时大于 ,即(1 -a)b ,(1-b)c ,(1-c)a ,三式相乘得14 14 14 14(1-a)b(1-b)c(1-c)a . (14)3因为 0
6、a1,所以 0a(1-a) = .(1-+2 )214同理,0 b(1-b) ,0c(1-c) .14 14所以(1 -a)a(1-b)b(1-c)c . (14)3因为 与 矛盾,所以假设不成立,故选 A.【答案】A10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖 .有人走访了这四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖 .”乙说:“甲、丙都未获奖 .”丙说:“我获奖了 .”丁说:“是乙获奖 .”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 . 【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙 .【答案】丙11.已知非零实数 a,b,c 构成公差不为 0 的等差数列,求证: , , 不能构成等差数列 .111【解析】假设 , , 能构成等差数列,则有 = + ,即 bc+ab=2ac. 111 211而由 a,b,c 构成等差数列,得 2b=a+c. - 3 -联立 两式,得( a+c)2=4ac,即( a-c)2=0,于是得 a=c,这与 a,b,c 构成公差不为 0 的等差数列矛盾 .故假设不成立,因此 , , 不能构成等差数列 .111
