1、- 1 -第 8 课时 空间几何中的角度计算与距离计算基础达标(水平一)1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1到截面 AB1D1的距离为( ).A. B. C. D.83 38 43 34【解析】由等体积法得 = ,则 6h= 24,解得 h= .1-11-11113 13 43【答案】C2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( ).A.相等 B.互补C.相等或互补 D.关系无法确定【解析】如图,平面 EFDG平面 ABC,平面 HDG平面 BCD,当平面 HDG 绕 DG 转动时,平面HDG 始终与
2、平面 BCD 垂直,所以两个二面角的大小关系不确定 .【答案】D3.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于( ).A. B. C. D.64 104 22 32【解析】如图所示,取 A1C1的中点 D,连接 AD,B1D,可知 B1D平面 ACC1A1, DAB1即为直线 AB1与平面 ACC1A1所成的角 .不妨设正三棱柱的棱长为 2, 在 Rt AB1D 中,sin DAB1= = = ,故选 A.11 322 64【答案】A- 2 -4.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB AC,AB=AA1=2,AC=
3、 ,过 BC 的中点 D 作平面 ACB1的垂线,交2平面 ACC1A1于点 E,则 BE 与平面 ABB1A1所成角的正切值为( ).A. B.55 510C. D.1010 105【解析】连接 A1C 及 AC1交点为 O,连接 OD,A1B,由图形易知 A1B平面 AB1C,OD A1B,故OD平面 AB1C,故点 E 与点 O 重合 .取 AA1的中点 F,连接 EF 和 BF,易判断 EBF 为 BE 与平面ABB1A1所成角, EF= AC= ,BF= = = ,故 tan EBF= = ,选 C.12 22 2+2 4+1 5225 1010【答案】C5.已知矩形 ABCD 的两
4、边 AB=3,AD=4,PA平面 ABCD,且 PA= ,则二面角 A-BD-P 的大小为 435. 【解析】过点 A 作 AE BD,连接 PE,则 AEP 为二面角 A-BD-P 的平面角 .由 AB=3,AD=4 知 BD=5.AB AD=BDAE,AE= .125 tan AEP= = = . AEP=30.435125 33【答案】306.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为 . 【解析】如图,连接 C1B 交 B1C 于点 O,由直线 C1B平面 B1CD 可得直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为 ODC1.在 Rt ODC1中,
5、由 DC1=2OC1可得 ODC1=30,因此直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为 30.- 3 -【答案】307.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, BCD=60,E 是 CD 的中点, PA底面ABCD,PA= .3(1)求证:平面 PBE平面 PAB.(2)求二面角 A-BE-P 的大小 .【解析】(1)如图,连接 BD,由底面 ABCD 是菱形且 BCD=60知 BCD 是等边三角形 .因为 E 是 CD 的中点,所以 BE CD.又 AB CD,所以 BE AB.又 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD,所以 PA BE.又 PA AB=A,
6、所以 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE,所以平面 PBE平面 PAB.(2)由(1)知 BE平面 PAB,PB平面 PAB,所以 PB BE.又 AB BE,所以 PBA 即为二面角 A-BE-P 的一个平面角 .在 Rt PAB 中,tan PBA= = ,3所以 PBA=60,故二面角 A-BE-P 的大小是 60.拓展提升(水平二)8.在三棱锥 P-ABC 中, PA平面 ABC, BAC=90,则二面角 B-PA-C 的大小为( ).A.90 B.60 C.45 D.30【解析】 PA 平面 ABC,BA,CA平面 ABC,BA PA,CA PA, BAC 即为二面角 B-PA-
7、C的平面角 .又 BAC=90,故选 A.【答案】A9.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,各侧棱和底面的边长均为 a,点 D 是 CC1上任意一点,连接A1B,BD,A1D,AD,则三棱锥 A-A1BD 的体积为( ).A. B. C. D.36 3312 336 312- 4 -【解析】 = = Sh= = .-1-113 13 22 32 3312【答案】B10.已知在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 是 A1B1的中点,则直线 AE 与平面 ABC1D1所成的角的正弦值为 .【解析】如图,取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面 ABC1D1于点 O,连接 AO
8、,B1C.由题意知 B1C BC1,B1C D1C1,BC1 D1C1=C1,B 1C平面 ABC1D1.E ,F 分别为 A1B1,CD 的中点, EF B1C.EF 平面 ABC1D1,即 EAO 为所求角 .在 Rt EOA 中, EO= EF= B1C= ,AE= = , sin EAO= = .12 12 22 12+21 52 105【答案】10511.如图所示,在三棱锥 P-ABC 中, ACB=90,CB=4,AB=20,D 为 AB 的中点,且 PDB 是正三角形, PA PC.(1)求证:平面 PAC平面 ABC.(2)求二面角 D-AP-C 的正弦值 .(3)若 M 为
9、PB 的中点,求三棱锥 M-BCD 的体积 .【解析】(1) D 是 AB 的中点, PDB 是正三角形, AB=20,PD= AB=10,AP PB.12又 AP PC,PB PC=P,AP 平面 PBC.又 BC平面 PBC,AP BC.又 AC BC,AP AC=A,BC 平面 PAC.又 BC平面 ABC, 平面 PAC平面 ABC.(2)PA PC,且 PA PB, BPC 是二面角 D-AP-C 的平面角 .由(1)知, BC平面 PAC,则 BC PC, sin BPC= = .25(3)D 为 AB 的中点, M 为 PB 的中点, DM PA,且 DM=5 ,12 3由(1)知, PA平面 PBC,DM 平面 PBC,S BCM= S PBC=2 ,12 21- 5 -V M-BCD=VD-BCM= 5 2 =10 .13 3 21 7
