1、- 1 -第 7课时 离散型随机变量的综合应用基础达标(水平一)1.已知 X的分布列为X -1 0 1P 12 m 16有以下三个结论: E (X)=- ;D (X)= ;P (X=0)= .13 119 13其中正确结论的个数为( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】由分布列知 P(X=0)= ,E(X)=(-1) +1 =- ,D (X)= + +13 12 16 13 (-1+13)2 12(0+13)2 13 = .故 正确 .(1+13)2 1659【答案】C2.已知离散型随机变量 的分布列如下: 0 1 2P 0.3 3k 4k若随机变量 = 2+ 1,则 的数学期望为( )
2、.A.1.1 B.3.2 C.2.2 D.4.4【解析】由 0.3+3k+4k=1得 k=0.1,E ( )=00.3+10.3+20.4=1.1,E( )=2E( )+1=21.1+1=3.2.【答案】B3.某运动员投篮命中率为 0.6,他重复投篮 5次,若命中一次得 10分,没命中不得分,命中次数为 X,得分为 Y,则 E(X),D(Y)分别为( ).A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.2【解析】由题意知 XB(5,0.6),Y=10X,E (X)=50.6=3,D(X)=50.60.4=1.2.D (Y)=100D(X)=120,故选 C.【答案】C4.某公司的班车
3、在 7:00,8:00,8:30发车,若小明一周内每天都在 7:50至 8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他连续 5天等车时间不超过 10分钟的期望和方差分别是( ).A. 和 B. 和54 52 52 54C. 和 D. 和12 34 34 12- 2 -【解析】如图,画出时间轴 .小明到达发车站的时刻会随机地落在图中线段 AB上,而当他到达发车站的时刻落在线段 AC或 DB上时,才能保证他等车的时间不超过 10分钟 .根据几何概型,所求概率 P= = .10+1040 12因为小明一周内每天等车时间不超过 10分钟的概率都相同,所以小明连续 5天等车时间不超过
4、10分钟的天数符合二项分布 .依题意可得 XB .(5,12)所以 E(X)=np=5 = ,D(X)=np(1-p)=5 = .1252 12 1254【答案】B5.随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(= 0)= ,E( )=1,则 D( )= . 15【解析】设 P(= 1)=p,则 P(= 2)= -p.由 E( )=0 +1p+2 =1,得 p= .45 15 (45-) 35故 D( )=(0-1)2 +(1-1)2 +(2-1)2 = .15 35 1525【答案】256.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖,且相应获奖概率是以 a1为首项,2 为公比的等比数列,相应奖金是以
5、700元为首项, -140元为公差的等差数列,则参与该游戏获得奖金的期望为 元 . 【解析】 a 1+2a1+4a1=1,a 1= ,E ( )= 700+ 560+ 420=500(元) .17 17 27 47【答案】5007.某师大附中高一研究性学习小组,在某一高速公路服务区,从小型汽车中按进服务区的先后,以每间隔 10辆就抽取 1辆的抽样方法抽取 20名驾驶员进行询问调查 .将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100,统计后得到如图所示的频率分布直方图 .(1)此研究性学习小组在采集中,用到的是什么
6、抽样方法?并求这 20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值;(2)若从车速在80,90)内的车辆中任意抽取 3辆,求车速在80,85)和85,90)内都有车辆的概率;(3)若从车速在90,100内的车辆中任意抽取 3辆,求车速在90,95)内的车辆数的数学期望 .【解析】(1)此研究性学习小组在采样中,用到的抽样方法是系统抽样 .这 20辆小型汽车车速的众数的估计值为 87.5 km/h,中位数的估计值为 87.5 km/h.- 3 -(2)车速在80,90)内的车辆有(0 .2+0.3)20=10辆,其中车速在80,85)和85,90)内的车辆分别有 4辆和 6辆 .设事件 Ai为“车速在8
7、0,85)内有 i辆车”,事件 Bj为“车速在85,90)内有 j辆车”,事件 A为“车速在80,85)和85,90)内都有车辆”,P (A)=P(A2B1)+P(A1B2)= + = .2416310142631045(3)车速在90,100内的车辆共有 7辆,车速在90,95)和95,100内的车辆分别有 5辆和2辆 .若从车速在90,100内的车辆中任意抽取 3辆,设车速在90,95)内的车辆数为 X,则 X的可能取值为 1,2,3.P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = .152237 17251237 47350237 27故 X的分布列为X 1 2 3P 1
8、7 47 27 车速在90,95)内的车辆数的数学期望为 E(X)=1 +2 +3 = .17 47 27157拓展提升(水平二)8.已知随机变量 X的分布列为X m nP 13 a若 E(X)=2,则 D(X)的最小值为( ).A.0 B.2 C.4 D.无法计算【解析】依题意有 a=1- = ,所以 E(X)= m+ n=2,即 m+2n=6. 1323 13 23又 D(X)= (m-2)2+ (n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以当 n=2时, D(X)有最小值 0.13 23【答案】A9.从一批含有 13件正品、2 件次品的产品中不放回地抽取 3次,每次抽取 1件,设抽
9、取的次品数为 ,则 E(5+ 1)=( ).A.2 B.1 C.3 D.4【解析】 的可能取值为 0,1,2,P(= 0)= = ,3133152235P(= 1)= = ,P(= 2)= = .12213315123522113315135所以 的分布列为 0 1 2P 22351235 135- 4 -E( )=0 +1 +2 = ,2235 1235 13525所以 E(5+ 1)=5E( )+1=5 +1=3.25【答案】C10.退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势 .某机构为了了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20,80内的 600人进行调
10、查,并按年龄层次绘制频率分布直方图,如图所示 .若规定年龄分布在60,80内的人为“老年人”,将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在20,80的人口分布的概率 .从该城市年龄段在20,80内的市民中随机抽取 3人,记抽到“老年人”的人数为 X,则随机变量 X的数学期望为 . 【解析】由频率分布直方图可知,“老年人”所占频率为 ,15 从该城市年龄段在20,80内的市民中随机抽取 3人,抽到“老年人”的概率为 .15 随机变量 X服从二项分布,且 XB ,(3,15) 随机变量 X的数学期望 E(X)=3 = .1535【答案】3511.如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0
11、,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6个点中随机选取 3个点,将这 3个点及原点 O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).(1)求 V=0的概率;(2)求 V的分布列及数学期望 E(V).【解析】(1)从 6个点中随机选取 3个点,共有 =20种选法,选取的 3个点与原点 O在同36一个平面上的选法有 =12种,故 P(V=0)= = .1334122035(2)V的所有可能取值为 0, , , , ,16132343- 5 -P(V=0)= ,35P = = ,(=16)3336120P = = ,(=13)2336320P = = ,(=23)2336320P = = .(=43)3336120因此 V的分布列为V 0 16 13 23 43P 35 120 320 320 120故 E(V)=0 + + + + = .3516 12013 32023 32043 120940
