1、1专题能力训练 17 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知双曲线 C: =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭圆 =1有公共焦点,2222 52 212+23则 C的方程为( )A. =1 B. =128210 2425C. =1 D. =12524 24232.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A,B两点,交 C的准线于 D,E两点 .已知 |AB|=4 ,|DE|=2 ,则2 5C的焦点到准线的距离为( )A.2 B.4C.6 D.83.(2018全国 ,理 5)若双曲线 =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为( )22223A.y= x B.y= x
2、2 3C.y= x D.y= x22 324.(2018天津,理 7)已知双曲线 =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x轴的直线与2222双曲线交于 A,B两点 .设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A. =1 B. =124212 21224C. =1 D. =12329 29235.设双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F作与 x轴垂直的直线 l交两渐近线于 A,B两点,与2222双曲线的一个交点为 P,设 O为坐标原点 .若 =m +n (m,nR),且 mn=,则该双曲线的离心率为( )A.
3、B.322 355C. D.3246.双曲线 =1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA,OC所在的直线,点 B为该双曲线的焦2222点 .若正方形 OABC的边长为 2,则 a= . 7.已知双曲线 C: =1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A为圆心, b为半径作圆 A,圆 A与双曲线 C的2222一条渐近线交于 M,N两点 .若 MAN=60,则 C的离心率为 .8.2如图,已知抛物线 C1:y=x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O的直线 PA,PB分别与抛物线 C1和圆 C2相切, A,B为切点 .(1)求点 A,B的坐标;(2)
4、求 PAB的面积 .注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点 .9.如图,动点 M与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成 MAB,且直线 MA,MB的斜率之积为 4,设动点 M的轨迹为 C.(1)求轨迹 C的方程;(2)设直线 y=x+m(m0)与 y轴相交于点 P,与轨迹 C相交于点 Q,R,且 |PQ|0,b0)的左、右焦点, O是坐标原点,过2222F2作 C的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若 |PF1|= |OP|,则 C的离心率为( )6A. B.2 C. D.5 3 213.已知 F是抛物线 C:y2=8x的焦点,
5、M是 C上一点, FM的延长线交 y轴于点 N,若 M为 FN的中点,则|FN|= . 314.在平面直角坐标系 xOy中,双曲线 =1(a0,b0)的右支与焦点为 F的抛物线 x2=2py(p0)2222交于 A,B两点,若 |AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 15.已知圆 C:(x+1)2+y2=20,点 B(1,0),点 A是圆 C上的动点,线段 AB的垂直平分线与线段 AC交于点 P.(1)求动点 P的轨迹 C1的方程;(2)设 M ,N为抛物线 C2:y=x2上的一动点,过点 N作抛物线 C2的切线交曲线 C1于 P,Q两点,求(0,15)MPQ面积的最大值
6、 .16.已知动点 C是椭圆 : +y2=1(a1)上的任意一点, AB是圆 G:x2+(y-2)2=的一条直径( A,B是端2点), 的最大值是 .314(1)求椭圆 的方程;(2)已知椭圆 的左、右焦点分别为点 F1,F2,过点 F2且与 x轴不垂直的直线 l交椭圆 于 P,Q两点 .在线段 OF2上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数 m的取值范围;若不存在,请说明理由 .4专题能力训练 17 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.B 解析 由题意得 ,c=3.=52又 a2+b2=c2,所以 a2=4,b2=5,故 C的方程为 =1.2
7、4252.B 解析 不妨设抛物线 C的方程为 y2=2px(p0),圆的方程为 x2+y2=R2.因为 |AB|=4 ,所以可设 A(m,2 ).2 2又因为 |DE|=2 ,5所以 解得 p2=16.2=5+24,2+8=2,8=2, 故 p=4,即 C的焦点到准线的距离是 4.3.A 解析 e= ,=3+1=3.22=2+22 =()2=2. 双曲线焦点在 x轴上, 渐近线方程为 y= x, 渐近线方程为 y= x.24.C 解析 由双曲线的对称性,不妨取渐近线 y=x.如图所示, |AD|=d1,|BC|=d2,过点 F作 EF CD于点 E.由题易知 EF为梯形 ABCD的中位线,所以
8、 |EF|= (d1+d2)=3.12又因为点 F(c,0)到 y= x的距离为 =b,所以 b=3,b2=9. |-0|2+2因为 e= =2,c2=a2+b2,所以 a2=3,所以双曲线的方程为 =1.故选 C. 23295.C 解析 在 y=x中令 x=c,得 A ,B ,在双曲线 =1中令 x=c得 P(,) (,-) 2222 (,2).当点 P的坐标为 时,由 =m +n ,(,2) 5得=(+),2= -,则 +=1,-=.由 (舍去),+=1,=29,得 =23,=13或 =13,=23, ,e=132-22 =19 324.同理,当点 P的坐标为 时, e=(,-2) 324
9、.故该双曲线的离心率为324.6.2 解析 四边形 OABC是正方形, AOB=45, 不妨设直线 OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为 y=x =1,即 a=b.又 |OB|=2 ,c= 2 a2+b2=c2,即 a2+a2=(2 )2,可得 a=2. 2 2. 27 解析 如图所示,由题意可得 |OA|=a,|AN|=|AM|=b,.233 MAN=60,|AP|= b,|OP|=32 |2-|2=2-342.设双曲线 C的一条渐近线 y= x的倾斜角为 ,则 tan = 又 tan = ,|= 322-342. ,解得 a2=3b2,322-342=e=1+22=1+13=233.8.
10、解 (1)由题意知直线 PA的斜率存在,故可设直线 PA的方程为 y=k(x-t),由 消去 y,整理得 x2-4kx+4kt=0,=(-),=142 由于直线 PA与抛物线相切,得 k=t.因此,点 A的坐标为(2 t,t2).6设圆 C2的圆心为 D(0,1),点 B的坐标为( x0,y0),由题意知:点 B,O关于直线 PD对称,故解得02=-02+1,0-0=0, 0= 21+2,0=221+2.因此,点 B的坐标为 (21+2,221+2).(2)由(1)知 |AP|=t 和直线 PA的方程 tx-y-t2=0. 1+2点 B到直线 PA的距离是 d=21+2.设 PAB的面积为 S
11、(t),所以 S(t)= |AP|d=12 32.9.解 (1)设 M的坐标为( x,y),当 x=-1时,直线 MA的斜率不存在;当 x=1时,直线 MB的斜率不存在 .于是 x1,且 x -1.此时, MA的斜率为 ,MB的斜率为+1 -1.由题意,有 =4.+1 -1整理,得 4x2-y2-4=0.故动点 M的轨迹 C的方程为 4x2-y2-4=0(x 1).(2)由 消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0. =+,42-2-4=0对于方程 ,其判别式 = (-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而当 1或 -1为方程 的根时, m的值为 -1或 1.结合题设( m0)
12、可知, m0,且 m1 .设 Q,R的坐标分别为( xQ,yQ),(xR,yR),则 xQ,xR为方程 的两根,因为 |PQ|1,且 2,1+32 1+32所以 12=|BC|,5所以动点 P的轨迹 C1是一个椭圆,其中 2a=2 ,2c=2.5动点 P的轨迹 C1的方程为 =1.25+24(2)设 N(t,t2),则 PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组 消去 y整理,得(4 +20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,=2-2,25+24=1,有=80(4+202-4)0,1+2= 2034+202,12=54-204+202. 而 |PQ|= |x1-x2
13、|= ,1+421+4280(4+202-4)4+202点 M到 PQ的高为 h= ,15+21+42由 S MPQ= |PQ|h代入化简,得1210S MPQ= ,当且仅当 t2=10时, S MPQ可取最大值510-(2-10)2+104510104=13051305 .16.解 (1)设点 C的坐标为( x,y),则 +y2=1.2连接 CG,由 ,又 G(0,2), =(-x,2-y),=+,=+= 可得 =x2+(y-2)2- =a(1-y2)+(y-2)2- =-(a-1)y2-4y+a+ ,其中 y -1,1.=2294 94 74因为 a1,所以当 y= -1,即 1-1,即
14、a3时, 的最大值是 ,42(1-) 4(1-)(+74) -164(1-)由条件得 ,4(1-)(+74) -164(1-) =314即 a2-7a+10=0,解得 a=5或 a=2(舍去) .综上所述,椭圆 的方程是 +y2=1.25(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为( x0,y0),则满足 =1, =1,两式相减,215+21 225+22整理,得 =- =- ,2-12-12+15(2+1)050从而直线 PQ的方程为 y-y0=- (x-x0).050又右焦点 F2的坐标是(2,0),将点 F2的坐标代入 PQ的方程得-y0=- (2-x0),050因为直线 l与 x轴不垂直,所以 2x0- =5 0,从而 0x02.20 20假设在线段 OF2上存在点 M(m,0)(0m2),使得以 MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段 PQ的垂直平分线必过点 M,而线段 PQ的垂直平分线方程是 y-y0= (x-x0),将点 M(m,0)代入得 -y0=500(m-x0),得 m= x0,从而 m500 45 (0,85).
