1、1第二讲 空间与图形第四章 三角形4.1 线、角、相交线与平行线 学用 P37过关演练 (30 分钟 85 分)1.如图, AB=12,C 为 AB 的中点,点 D 在线段 AC 上,且 ADCB= 1 3,则 DB 的长度为 (D)A.4 B.6C.8 D.10【解析】 C 为 AB 的中点, AC=BC= AB= 12=6,ADCB= 1 3,AD= 2,DB=AB-AD= 12-12 122=10.2.下列命题的逆命题成立的是 (A)A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数相等,则这两个数的绝对值也相等C.对顶角相等D.如果 a=b,那么 a2=b2【解析】A 的逆命题是:同旁内角互补,
2、两直线平行,正确;B 的逆命题是:如果两个数的绝对值相等,则这两个数相等,逆命题不成立,不符合题意;C 的逆命题是:如果两个角相等,则这两个角是对顶角,逆命题不成立,不符合题意;D 的逆命题是:如果 a2=b2,则 a=b,逆命题不成立,不符合题意 .3.如图,下列说法错误的是 (C)A.若 a b,b c,则 a cB.若1 =2,则 a cC.若3 =2,则 b c2D.若3 +5 =180,则 a c【解析】若 a b,b c,则 a c,利用了平行于同一条直线的两条直线平行,故 A 正确;若1 =2,则 a c,利用了内错角相等,两直线平行,故 B 正确;若3 =2,不能判断 b c,
3、故C 错误;若3 +5 =180,则 a c,利用了同旁内角互补,两直线平行,故 D 正确 .4.(2018山东聊城) 如图,直线 AB EF,点 C 是直线 AB 上一点,点 D 是直线 AB 外一点,若 BCD=95, CDE=25,则 DEF 的度数是 (C)A.110 B.115 C.120 D.125【解析】延长 FE 交 DC 于点 N, 直线 AB EF, DNF= BCD=95, CDE=25, DEF=95+25=120.5.一个角的余角是这个角的补角的 ,则这个角的度数是 (B)13A.30 B.45 C.60 D.70【解析】设这个角的度数为 x,则余角为 90-x,补角
4、为 180-x,由题意得 90-x= (180-x),解得 x=45.136.如图,直线 a,b 被 c,d 所截,且 c a,c b,1 =60,则2 的度数是 (B)A.80 B.60C.40 D.20【解析】由 c a,c b,可得 a b,则3 =1 =60,又由对顶角的性质知3 =2,所以2 =60.7.(2018阜阳颍泉区模拟) 如图,在 A,B 两地之间修建一条直线形的公路隧道,在山体一侧的 A 地测得公路的走向是北偏东 80,即 = 80.B 点是隧道的另一端 .现要求在 A,B 两地同时施工,那么在 B 地公路走向应为 = (C)A.10 B.80 C.100 D.120【解
5、析】由方位角知 AC BD,所以 + = 180,则 = 180-80=100.8.已知命题:“如果 m 是整数,那么它是有理数 .”则它的逆命题为 如果 m 是有理数,那么它是整数 . 【解析】根据互逆命题的概念,交换这个命题的题设和结论即可 .9.(2018辽宁阜新) 如图,已知 AB CD,点 E,F 在直线 AB,CD 上, EG 平分 BEF 交 CD 于点G, EGF=64,那么 AEF 的度数为 52 . 3【解析】 AB CD, EGF=64, BEG= EGF=64,又 EG 平分 BEF, BEF=2 BEG=128, AEF=180-128=52.10.(2018内蒙古通
6、辽) 如图, AOB 的一边 OA 为平面镜, AOB=3745,在 OB 边上有一点E,从点 E 射出一束光线经平面镜反射后,反射光线 DC 恰好与 OB 平行,则 DEB 的度数是 7530(或 75.5) . 【解析】 CD OB, ADC= AOB, EDO= CDA, EDO= AOB=3745, DEB= AOB+ EDO=23745=7530(或 75.5).11.(8 分)如图,要从小河引水到村庄 A,请设计作出最短路线,并说明理由 .解:如图所示 .理由:垂线段最短 .12.(10 分)如图,已知 l1 l2,Rt ABC 的两个顶点 A,B 分别在直线 l1,l2上, C=
7、90,若 l2平分 ABC,交 AC 于点 D,1 =26,求2 的度数 .解: l 1 l2,1 =26, ABD=1 =26,又 l 2平分 ABC, ABC=2 ABD=52, C=90, 在 Rt ABC 中,2 =90- ABC=38.13.(12 分)如图 1,已知 CE 平分 ACD,AE 平分 BAC, EAC+ ACE=90.(1)请判断 AB 与 CD 的位置关系并说明理由 .(2)如图 2,当 E=90且 AB 与 CD 的位置关系保持不变,移动直角顶点 E,使 MCE= ECD,当直角顶点 E 点移动时,问 BAE 与 MCD 是否存在确定的数量关系?并说明理由 .4(
8、3)如图 3,P 为线段 AC 上一定点,点 Q 为直线 CD 上一动点且 AB 与 CD 的位置关系保持不变,当点 Q 在射线 CD 上运动时(点 C 除外), CPQ+ CQP 与 BAC 有何数量关系?猜想结论并说明理由 .解:(1) AB CD.理由: CE 平分 ACD,AE 平分 BAC, BAC=2 EAC, ACD=2 ACE, EAC+ ACE=90, BAC+ ACD=180,AB CD.(2) BAE+ MCD=90.12理由:过点 E 作 EF AB 交 CM 于点 F,AB CD,EF AB CD, BAE= AEF, FEC= DCE, AEC=90, BAE+ E
9、CD=90, MCE= ECD, BAE+ MCD=90.12(3) BAC= CQP+ CPQ.理由: AB CD, BAC+ ACD=180, QPC+ PQC+ PCQ=180, BAC= PQC+ QPC.14.(12 分)【探究猜想】已知 AB CD,点 E 是 AB,CD 内部一点,如图 1,连接 EA,EC.猜想 AEC, EAB, ECD 之间的数量关系,并说明理由 .解: AEC= EAB+ ECD.理由:过点 E 作 EM AB.(请完成后面的说理过程)【类比探究】已知 AB CD,点 F 是 AB,CD 内部一点,如图 2,连接 FA,FC.猜想 AFC, FAB, FC
10、D 之间的数量关系,并说明理由 .解:【探究猜想】 EAB= AEM,AB CD,EM CD, MEC= ECD, AEC= AEM+ MEC= EAB+ ECD.【类比探究】 FAB+ AFC+ FCD=360.理由:过点 F 作 FN AB(其中点 N 在点 F 的右侧), FAB+ AFN=180,AB CD,FN CD, NFC+ FCD=180, FAB+ AFN+ NFC+ FCD=360. AFC= AFN+ NFC, FAB+ AFC+ FCD=360.名师预测51.如图,直线 l1与 l2相交于点 O,OM l1,若 = 40,则 等于 (B)A.40 B.50 C.60 D
11、.65【解析】 = 180-90- = 50.2.将一副直角三角板按如图方式放置,使直角顶点 C 重合,当 DE BC 时, 的度数是 (A)A.105 B.115 C.95 D.110【解析】 DE BC, DCB= D=45, = DCB+ B=45+60=105.3.如图所示,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D,C 分别落在点 D,C的位置 .若 EFB=65,则 AED等于 (C)A.70 B.65 C.50 D.25【解析】 四边形 ABCD 为矩形, AD BC, DEF= EFB=65,又由折叠的性质可得 DEF= DEF=65, AED=180-65-65=50.4.如图
12、,小军从 A 处出发沿北偏东 65方向行走至 B 处,又沿北偏西 20方向行走至 C 处,此时需把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是 (D)A.左转 95 B.右转 95C.左转 85 D.右转 85【解析】过点 C 作 CD AB(其中点 D 在点 C 的左侧), A=65, ABC=180-20-65=95.AB CD, DCB=180- ABC=85, 要把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是右转 85.5.如图,直线 a b,将一个含 30角的直角三角尺按如图所示的位置摆放,若1 =58,则2 = 32 . 【解析】过直角顶点作直线 a 的平行线,利用平行线的性质易证2 +1
13、 =90. 1 =58, 2 =90-1 =32.66.如图, DA CE 于点 A,CD AB,1 =30,则 D= 60 . 【解析】 DA CE, DAE=90, EAB=30, BAD=60,又AB CD, D= BAD=60.7.下列四个命题: 若 ab,则 ; 垂直于弦的直径平分弦; 平行四边形的对角线互相平分; 反比例函数 y= ,当 k0 时, y 随 x 的增大而增大 .其中是真命题的有 .(填序号) 【解析】对于 ,当 c0 时,命题不成立,故 是假命题;对于 ,当 k0 时,在每个象限内, y随 x 的增大而增大,故 是假命题;而 中的命题都是真命题 .8.取一张长方形的
14、纸片,按如图的方法折叠,然后回答问题 .(1)分别写出1 与 AEC,2 与 FEB 之间所满足的等量关系;(2)写出1 与2 之间所满足的等量关系,并说明理由;(3)AE 与 EF 垂直吗?为什么?解:(1)1 与 AEC 互补,2 与 FEB 互补 .(2)1 +2 =90.理由:根据折叠的性质可知,1 = AEB,2 = FEC, 1 + AEB+2 + FEC=180, 2(1 +2) =180,即1 +2 =90.(3)AE 与 EF 垂直 .理由:由(2)知1 +2 =90, AEF=90,AE 与 EF 垂直 .9.已知直线 AB CD,直线 MN 分别交 AB,CD 于点 E,
15、F,点 P 为射线 EF 上的点,点 Q 为 CD 上一点,已知 MEB= (90 180),(1)如图 1,点 P 在线段 EF 上,点 Q 在点 F 的左侧, DFN 比 MEB 小 20,若 PQF 为 MEB的一半,求 EPQ 的度数;(2)如图 2,EH 平分 AEF 交 CD 于点 H,若 PQ EH,求 EPQ;(用含 的式子表示)(3)如图 3,EH 平分 AEF 交 CD 于点 H, PQF 比 EHF 小 20,若 MEB=100,求 EPQ 的度数 .7解:(1) AB CD, DFN= BEN,又 DFN 比 MEB 小 20, BEN 比 MEB 小 20,又 BEM+ BEN=180, BEM=100, BEN=80, PFQ= BEN=80,又 PQF 为 MEB 的一半, PQF=50, EPQ= PQF+ PFQ=50+80=130.(2)HE 平分 AEF, AEF= BEM= , HEF= AEF= ,12 12EH PQ, EPQ= HEF= .12(3)AB CD, MFQ= MEB=100,HE 平分 AEF, AEH= AEF=50,12 EHF= AEH=50, PQF= EHF-20=30, EPQ= MFQ- PQF=100-30=70
